Question

16．銀河系的恒星中大約四分之一是雙星，某雙星由質量不等的星體S₁和S₂構成，兩星在相互間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一點C做勻速圓周運動．由天文觀察測得其運行周期為T，S₁到C點的距離為r₁，S₂的質量為m，已知引力常量為G，由此可求出兩星間的距離r及兩星的總質量M分別為（　　）

• A． r=$\frac{T}{2π}\sqrt{\frac{Gm}{{r}_{1}}}$，M=$\frac{mT}{2π}\sqrt{\frac{Gm}{{r}_{1}}}$
• B． r=$\frac{T}{2π}\sqrt{\frac{Gm}{{r}_{1}}}$，M=$\frac{mT}{2π{r}_{1}}\sqrt{\frac{Gm}{{r}_{1}}}$
• C． r=$\frac{2π}{T}\sqrt{\frac{Gm}{{r}_{1}}}$，M=$\frac{mT}{2π}\sqrt{\frac{Gm}{{r}_{1}}}$
• D． r=$\frac{2π}{T}\sqrt{\frac{Gm}{{r}_{1}}}$，M=$\frac{mT}{2π{r}_{1}}\sqrt{\frac{Gm}{{r}_{1}}}$

Answer 1

分析 這是一個雙星的問題，S₁和S₂繞C做勻速圓周運動，它們之間的萬有引力提供各自的向心力，S₁和S₂有相同的周期，結合牛頓第二定律和萬有引力定律解決問題．

解答 解：根據萬有引力提供向心力有：$G\frac{{m}_{1}m}{{r}^{2}}={m}_{1}{r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$；
整理得：r=$\frac{T}{2π}\sqrt{\frac{Gm}{{r}_{1}}}$
又：$G\frac{{m}_{1}m}{{r}^{2}}=m{r}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
解得：m₁=$\frac{m}{{r}_{1}}（r-{r}_{1}）$．
則：M=m+m₁=$\frac{mr}{{r}_{1}}$=$\frac{mT}{2π{r}_{1}}\sqrt{\frac{Gm}{{r}_{1}}}$．所以選項B正確．
故選：B

點評 該題屬于雙星問題，雙星的特點是兩個星體周期相等，星體間的萬有引力提供各自所需的向心力．