Question

（2011?婁底模擬）一輛客車在某高速公路上行駛，在經過某直線路段時，司機駕車做勻速直線運動．司機發現其正要通過正前方高山懸崖下的隧道，于是鳴笛，經時間t₁后聽到回聲；聽到回聲再行駛△t時間后，司機第二次鳴笛，又經時間t₂ 后，聽到回聲．已知聲音在空中的傳播速度為v₀．
（1）請根據以上條件推導客車速度的表達式．
（2）若此高速公路的最高限速為v_m=120km/h，聲音在空中的傳播速度為v₀=340m/s，測得t₁=6.6s，t₂=3.4s，△t=12s，請判斷此客車是否超速．

Answer 1

分析：（1）根據題意可以求出聲波前后兩次從汽車到隧道所用的時間，結合聲速，進而可以求出前后兩次汽車到隧道之間的距離．由于汽車向著隧道方向運動，所以兩者之間的距離在減小．汽車前后兩次到隧道之間的距離之差即為汽車前進的路程．由于兩次聲波發出的時間間隔為△t．汽車運動的時間為從第一次與聲波相遇開始，到第二次與聲波相遇結束．求出這個時間，就是汽車運動的時間．根據汽車運動的距離和時間，即可求出汽車的運動速度表達式；
（2）此高速公路的最高限速為v_m=120km/h，聲音在空中的傳播速度為v₀=340m/s，測得t₁=6.6s，t₂=3.4s，△t=12s，將此代入第（1）可判定是否超速．

解答：解：（1）依題可畫出如圖的運動示意圖，由圖可知
聲波在時間t₁內路程為   
X_AP+X_BP=v₀t₁    
而車在時間t₁內路程為  X_AB=vt₁
聲波在時間t₂內路程為   X_CP+X_DP=v₀t₂    而車在時間t₁內路程為  X_CD=vt₂
又車在△t內從B運動到C的過程有   X_BC=v△t
由幾何關系得：X_BC=X_BP-X_CP    
 X_AP+X_BP=X_AB+2X_BP     
 X_cP+X_DP=2X_CP-X_CD
聯立得 v=

v0(t1-t2)

2△t+t1+t2

（2）帶入數值可求得  V=32m/s=115.2km/h＜120km/h
所以客車沒有超速．
答：（1）客車速度的表達式為 v=

v0(t1-t2)

2△t+t1+t2

（2）客車沒有超速．?

點評：如何確定汽車運動的時間，是此題的難點．兩次信號的時間間隔雖然是12秒，但汽車在接收到兩次信號時其通過的路程所對應的時間不是12秒．要從起第一次接收到超聲波的信號開始計時，到第二次接收到超聲波的信號結束，由此來確定其運動時間．通過的路程與通過這段路程所用的時間對應上是解決此題關鍵．