Question

如圖甲所示，水平天花板下懸掛一光滑的輕質的定滑輪，跨過定滑輪的質量不計的繩（繩承受拉力足夠大）兩端分別連接物塊A和B，A的質量為m，B的質量m是可以變化的，當B的質量改變時，可以得到A加速度變化圖線如圖乙所示，不計空氣阻力和所有的摩擦，A加速度向上為正．
（1）求圖乙中a₁、a₂和m₁的大小．
（2）根據牛頓定律和運動學規律，證明在A和B未著地或與滑輪接觸時，AB系統機械能守恒．
（3）若m=0.8kg，m=1.2kg，AB開始都在離水平地面H=0.5m處，由靜止釋放AB，且B著地后不反彈，求A上升離水平地面的最大高度．（g取10m/s²）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據牛頓第二定律，采用隔離法分別研究A和B，得到加速度與兩物體質量的關系式，由圖象上讀出m→∞和兩坐標軸的截距，求出a₁、a₂和m₁的大小．
（2）根據運動學公式得出速度與高度的關系，通過變形證明系統的機械能守恒．
（3）將m=0.8kg，m=1.2kg代入加速度的表達式，求出加速度，由運動學公式求出B著地時A的速度．B著地后A做豎直上拋運動，再由運動學公式求出A上升的最大高度．
解答：解；（1）根據牛頓第二定律得
   對B：mg-F=ma
   對A：F-mg=ma
得a=g
當m→∞時 a₁=g；
當m=0時 a₂=-g；
當a=0時 m=m₁=m
（2）設A開始離水平面h₁，B開始離水平面h₂，由靜止釋放A上升到高度h₁′，B下降到高度h₂′，則
  h₁′-h₁=h₂-h₂′=h
設AB發生h位移時速度為v，則有
v²=2ah
將a=g代入得
  v²=2gh
變形得
  （m+m）v²=mg（h₂-h₂′）-mg（h₁′-h₁）
得mv²+mgh₁′+mv²+mgh₂′=mgh₁+mgh₂
故A、B系統的機械能守恒．
（3）從H=0.5m高處釋放，AB加速度
a=g=2m/s²
B著地時A的速度為 v==m/s
接著A做豎直上拋運動，上升的高度為h==0.1m
所以A距離水平面最大高度h_m=2H+h=1.1m
答：
（1）圖乙中a₁=g，a₂=-g，m₁=m．
（2）AB系統的機械能守恒證明見上．
（3）A上升離水平地面的最大高度是1.1m．
點評：本題考查了運用數學方法解決物理問題的能力．證明題要規范，步驟要完整，要有必要的假設．