Question

7．如圖所示，一質量不計的細線繞過無摩擦的輕質小定滑輪O與質量為5m的重物相連，另一端與套在一根固定的光滑的豎直桿上質量為m的圓環相連，直桿上有A、B、C三點，且B為A、C的中點，AO與豎直桿的夾角θ=53°，B點與滑輪O在同一水平高度，滑輪與豎直桿相距為L，重力加速度為g，設直桿足夠長，圓環和重物運動過程中不會與其他物體相碰．現將圓環由A點靜止開始釋放（已知sin53°=0.8，cos53°=0.6），試求：
（1）重物下降到最低點時圓環的速度大小；
（2）圓環能下滑的最大距離．

Answer 1

分析 （1）當圓環運動到B點時，重物下降到最低點位置，此時重物速度為零．取環與重物作為系統，由于只有重力做功，所以系統的機械能守恒，根據系統的機械能守恒定律可解出圓環的速度大小；
（2）當圓環下滑到最大距離時，圓環與重物的速度均為零，再由機械能守恒定律，結合幾何關系可求出圓環下滑的最大距離．

解答 解：（1）圓環到B點時，重物下降到最低點，此時重物速度為零．
根據幾何關系可知：圓環下降高度為 h_AB=$\frac{3}{4}$L
重物下降的高度為△h=$\frac{5}{4}$L-L=$\frac{1}{4}$L
系統只有重力做功，所以系統機械能守恒，則有：mgh_AB+5mg△h=$\frac{1}{2}$mv₁²
由上可解得：圓環的速度為 v₁=2$\sqrt{gL}$
（2）圓環能下滑最大距離H時，圓環和重物速度均為零．
由幾何關系可得：重物上升的高度△H=$\sqrt{（H-\frac{3}{4}L）^{2}}$-$\frac{5}{4}$L
由于系統只有重力做功，所以系統機械能守恒
則有：mgH=5mg△H   
解得：H=$\frac{25}{12}$L
答：（1）重物下降到最低點時圓環的速度大小是2$\sqrt{gL}$；
（2）圓環能下滑的最大距離是$\frac{25}{12}$L．

點評 本題多次運用幾何關系及機械能守恒定律，定律的表達式除題中變化的動能等于變化的重力勢能外，還可以寫成圓環的變化的機械能等于重物的變化的機械能．同時關注題中隱含條件的挖掘：重物下降到最低點的同時其速度等于零．