Question

如圖所示，足夠長光滑水平軌道與半徑為R的光滑四分之一圓弧軌道相切．現從圓弧軌道的最高點由靜止釋放一質量為m的彈性小球A，當A球剛好運動到圓弧軌道的最低點時，與靜止在該點的另一彈性小球B發生沒有機械能損失的碰撞．已知B球的質量是A球質量的k倍，且兩球均可看成質點．
（1）若k已知且等于某一適當的值時，A、B兩球在水平軌道上經過多次沒有機械能損失的碰撞后，最終恰好以相同的速度沿水平軌道運動．求該速度的大小；
（2）若第一次碰撞結束的瞬間，A球對圓弧軌道最低點壓力剛好等于碰前其壓力的一半，求k的可能取值：

Answer 1

（1）設最終兩球的速度大小為v，根據機械能守恒可得：
mgR=

1

2

mv2+

1

2

kmv2，
解得：v=

2gR k+1

．
（2）設A球到達圓弧軌道最低點時速度為v₀，則：

1

2

mv02=mgR
設此時A球對軌道壓力為N，則：N-mg=m

v02

R

設碰撞后A球的速度大小為v₁，對軌道的壓力為N₁，B球的速度為v₂，選v₀的方向為正，則：
mv₀=kmv₂±mv₁，

1

2

mv02=

1

2

mv12+

1

2

kmv22，
N1-mg=m

v12

R

N1=

1

2

N
代入數值解上述方程組可得：k=3或k=

1

3

．
答：（1）該速度的大小為v=

2gR k+1

．
（2）k的可能取值為3或

1

3

．