Question

9．一長木板在水平面上運動，在t=0時刻將一相對于地面靜止的物塊輕放到木板上，以后木板運動的速度---時間圖象如圖所示．已知物塊與木板的質量相等，物塊與木板間及木板與地面間均有摩擦，物塊與木板間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，且物塊始終在木板上，取重力加速度的大小g=10m/s²，求：
（1）0.5s內物塊與長木板的加速度
（2）物塊與木板間、木板與地面間的動摩擦因數．
（3）從t=0時刻到物塊與木板均停止運動時，物塊相對于木板的位移的大小．

Answer 1

分析 （1）由圖象求出物塊的加速度，然后由牛頓第二定律求出動摩擦因數．由圖象求出木板的加速度，然后由牛頓第二定律求出動摩擦因數．
（2）對物塊與木板受力分析，由牛頓第二定律求出加速度．
（3）作出物體與木板的v-t圖象，由運動學公式求出物體的位移．

解答 解：（1）從t=0時開始，木板與物塊之間的摩擦力使物塊加速，使木板減速，此過程一直持續到物塊和木板具有共同速度為止．
由圖可知，在t₁=0.5 s時，物塊和木板的速度相同．設t=0到t=t₁時間間隔內，物塊和木板的加速度大小分別為a₁和a₂，由圖示圖象可知：
a₁=$\frac{{v}_{1}}{{t}_{1}}=\frac{1}{0.5}$=2m/s²，
對物塊由牛頓第二定律得：
μ₁mg=ma₁，
代入數據解得：μ₁=0.2；
由圖象可知，木板的加速度：
a₂=$\frac{△v}{△t}=\frac{1-5}{0.5}$=-8m/s²，負號表示方向，
由牛頓第二定律得：μ₁mg+μ₂（m+m）g=ma₂，
代入數據解得：μ₂=0.3．
（2）在t₁時刻后，地面對木板的摩擦力阻礙木板運動，物塊與木板之間的摩擦力改變方向．
設物塊與木板之間的摩擦力大小為f，物塊和木板的加速度大小分別為a₁′、a₂′，由牛頓第二定律得：
f=ma₁′，μ₂（m+m）g-f=ma₂′，
假設二者相對靜止，則a₁′=a₂′，
得：f=μ₂mg＞μ₁mg，與假設矛盾，則二者相對滑動，則有：f=μ₁mg，
解得：a₁′=2m/s²，a₂′=4m/s²；
（3）可知木塊減速到零后就靜止，物塊一直減速到靜止，物塊的v-t圖象如圖中點劃線所示．

由運動學公式可推知，物塊和木板相對于地面的運動距離分別為：
s₁=2$\frac{{v}_{1}^{2}}{2{a}_{1}}$，s₂=$\frac{{v}_{0}+{v}_{1}}{2}$t₁+$\frac{{v}_{1}^{2}}{2{a}_{2}}$，
物塊相對于木板的位移的大小為：s=s₂-s₁，
代入數據解得：s=1.125m．
答：（1）0.5s內物塊與長木板的加速度分別為2m/s²和-8m/s²；
（2）物塊與木板間的動摩擦因數為0.2，木板與地面間的動摩擦因數為0.3；
（3）從t=0時刻到物塊與木板均停止運動時，物塊相對于木板的位移的大小為1.125m．

點評 解決本題的關鍵理清物塊和木板的運動規律，結合牛頓第二定律和運動學公式進行求解，知道圖線的斜率表示加速度，圖線與時間軸圍成的面積表示位移