Question

我國(guó)航天技術(shù)世界領(lǐng)先，天宮、神八相繼發(fā)射成功，由此激發(fā)了我們對(duì)地球運(yùn)動(dòng)的深入研究．設(shè)地球和太陽(yáng)的質(zhì)量分別為m和M，地球繞太陽(yáng)作橢圓運(yùn)動(dòng)，軌道的半長(zhǎng)軸為a，半短軸為b，如圖所示．（已知：地球的勢(shì)能為-

GMm

r

其中r是地球與太陽(yáng)的距離），試求
（1）由能量與行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律寫(xiě)出，地球在橢圓頂點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度v_A，v_B，v_C有關(guān)的方程組．
（2）由（1）有關(guān)的方程組求出地球在橢圓頂點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度v_A，v_B，v_C．
（3）求出地球運(yùn)動(dòng)軌跡在A、C兩點(diǎn)的曲率半徑ρ_A、ρ_C．
（以上有關(guān)結(jié)果由G、M、m、a、b表示）

Answer 1

分析：（1、2）地球做橢圓運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，機(jī)械能守恒．根據(jù)機(jī)械能守恒定律，開(kāi)普勒第二定律以及a、b、c的關(guān)系列出表達(dá)式，并求出A、B、C的速度大小．
（3）將A、C兩點(diǎn)的萬(wàn)有引力沿切向和法向進(jìn)行分解，沿法向方向上的合力提供向心力，根據(jù)該規(guī)律求出A、C兩點(diǎn)的曲率半徑．

解答：解：（1）針對(duì)地球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程，機(jī)械能守恒

1

2

mv_A²+（-G

Mm

a-c

）=

1

2

mv_B²+（-G

Mm

a+c

）  ①
比較A、B兩點(diǎn)，應(yīng)用開(kāi)普勒第二定律，有：v_A（a-c）=v_B（a+c）②
結(jié)合橢圓的基本關(guān)系：c=

a2-b2

 ③
（2）解以上三式可得：v_A=

a+ a2-b2

b

GM a

 ④，
v_B=

a- a2-b2

b

GM a

⑤
再針對(duì)地球從A到C的過(guò)程，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律，有

1

2

mv_A²+（-G

Mm

a-c

）=

1

2

mv_C²+（-G

Mm

a

）代入v_A值可解得：v_C=

GM a

⑥
（3）為求A、C兩點(diǎn)的曲率半徑，在A、C兩點(diǎn)建自然坐標(biāo)，然后應(yīng)用動(dòng)力學(xué)（法向）方程．
在A點(diǎn)，F(xiàn)_萬(wàn)=ΣF_n=m a_n，設(shè)軌跡在A點(diǎn)的曲率半徑為ρ_A，即：G

Mm

(a-c)2

=m

v 2 A

ρA

代入v_A值可解得：ρ_A=

b2

a

在C點(diǎn)，須將萬(wàn)有引力在τ、n方向分解，如圖所示．然后，F(xiàn)_萬(wàn)n=ΣF_n=m a_n，即：F_萬(wàn)cosθ=m

v 2 C

ρC

即：G

Mm

a2

?

b

a

=m

v 2 C

ρC

  
代入v_C值可解得：ρ_C=

a2

b

故地球運(yùn)動(dòng)軌跡在A、C兩點(diǎn)的曲率半徑分別為ρ_A=

b2

a

、ρ_C=

a2

b

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵抓住地球做橢圓運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中機(jī)械能守恒，以及知道地球在做橢圓運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，萬(wàn)有引力沿法向的合力提供向心力．