Question

豎直放置的光滑圓環上套有一質量為m的小球，小球在最高點時的速度v0=

1 2 gR

，其中R為圓環的半徑．下列說法中正確的是（　　）

• A．小球經過最低點時的速度等于

  3

  2

  2gR

• B．小球經過任意一條直徑兩端時的動能之和都相等
• C．小球繞圓環運動一周的時間大于

  2πR

  v0

• D．小球在最低點時對圓環的壓力等于4.5mg

Answer 1

分析：（1）小球從最高點運動到最低點的過程中機械能守恒，設小球到達最低點時的速度大小為v，根據機械能守恒定律列式即可求解；
（2）根據機械能守恒定律判斷小球經過任一直徑兩端位置時的動能之和是否是一定值．
（3）根據路程與時間的比值計算小球繞圓環一周的時間
（4）小球在最低點時，受到的合外力提供小球做圓周運動的向心力，設軌道對小球的支持力為N，根據牛頓第二定律和圓周運動公式即可求解；

解答：解：A、小球從最高點運動到最低點的過程中機械能守恒，設小球到達最低點時的速度大小為v，根據機械能守恒定律
mg?2R+

1

2

mv02=

1

2

mv2，解得：v=

3

2

2gR

，故A正確；
B、小球在運動的過程中機械能守恒，小球在最高點的機械能等于最低點的機械能，設最低點為零勢能平面有：E_k1+mg2R=E_k2=定量C，
則E_K1+E_K2+mg?2R=2C，在運動的過程中小球經過某一位置重力勢能減小多少，則經過關于圓心對稱的位置重力勢能就增加多少．所以小球經過任一直徑兩端位置時的動能之和是一個恒定值．故B正確．
C、小球做的運動不是勻速圓周運動，在整個運動的過程中，最高點的速度最小，所以運動的時間：t＜

2πR

v0

．故C錯誤．
D、小球在最低點時，受到的合外力提供小球做圓周運動的向心力，設軌道對小球的支持力為N，根據牛頓第二定律和圓周運動公式
N-mg=m

v2

R

；代入數據解得：N=5.5mg                              
根據牛頓第三定律，小球對軌道的壓力：N′=N=5.5mg．  故D錯誤．
故選：AB．

點評：本題綜合運用了機械能守恒定律和牛頓第二定律，關鍵理清向心力的來源，運用牛頓第二定律進行求解．