Question

17．如圖所示，足夠長的動摩擦因數為μ=0.2的水平長直軌道，與光滑的半圓形圓弧軌道，位于同一豎直面內．兩軌道于B點相切相連．一小物塊以初速度v₀=4m/s沿水平直軌道由A向B運動，并從B沖上半圓形軌道．A、B兩點距離L=1m．
（1）若小物塊運動至半圓形軌道最高點C時，軌道對它的壓力等于它的重力．則物塊從脫離軌道至再次落回至水平軌道上時的位移為多大？
（2）只改變半圓形光滑軌道的半徑，就可使小物塊的運動不與軌道脫離，要出現此種情況半圓形光滑軌道的半徑應滿足什么條件？在此種情況下，小物塊最終停下來的位置距離A有多遠？

Answer 1

分析 （1）小物塊經過C點時，由重力和軌道的壓力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求物塊在C點時的速度．從A到C，運用動能定理求出軌道半徑．物塊離開軌道后做平拋運動，由平拋運動的規律求水平位移，由幾何關系求出位移．
（2）當物塊沿光滑半圓形軌道上升的最大高度小于等于其半徑時，物塊的運動將不與軌道脫離．由動能定理求軌道的半徑應滿足的條件，并對全程列式，求小物塊最終停下來的位置距離A的距離．

解答 解：（1）設半圓形光滑軌道的半徑為R，小物塊的質 量為M，在C點時的速度為v_C．
由A至C過程：$\frac{1}{2}$Mv_C²-$\frac{1}{2}$Mv₀²=-μMgL-Mg（2R）
小物塊與C點：$\frac{M{{v}_{C}}^{2}}{R}$=Mg+N
據題 N=Mg
代入數值聯立解得：R=0.2 m，v_C=2 m/s
設物塊從脫離軌道至再次落回至水平軌道的過程中運動時間為t，水平分位移為x，位移為s．則：
豎直方向有 2R=$\frac{1}{2}$gt²
水平方向有 x=v_Ct
物塊從脫離軌道至再次落回至水平軌道上時的位移：s=$\sqrt{（2R）^{2}+{x}^{2}}$
聯立解得：s=0.4$\sqrt{3}$ m≈0.7 m
（2）當物塊沿光滑半圓形軌道上升的最大高度小于等于其半徑時，物塊的運動將不與軌道脫離．
設：物塊沿光滑半圓形軌道上升的最大高度為H
物塊由開始運動至沿光滑半圓形軌道上升的最大高度的過程，由動能定理：
   0-$\frac{1}{2}$Mv₀²=-MgH-μMgL
物塊的運動不與軌道脫離的條件：
   R≥H
代入數值解得：R≥0.6 m
設此種情況下物塊沿水平軌道運動的路程為l；小物塊停下來的位置與A的距離為△s．
物塊由開始運動至最終停止，由動能定理得：
-μMgl=0-$\frac{1}{2}$Mv₀²
△s=|2L-l|
解得：△s=2 m
答：（1）物塊從脫離軌道至再次落回至水平軌道上時的位移為0.7 m．
（2）要出現此種情況半圓形光滑軌道的半徑應滿足的條件是：R≥0.6 m．在此種情況下，小物塊最終停下來的位置距離A有2m．

點評 本題要分析清楚物塊的運動過程，把握圓周運動向心力的來源，運用運動的分解法研究平拋運動．要知道滑動摩擦力與總路程有關．