Question

19．如圖所示，半徑為R的絕緣圓筒中有沿軸線方向的勻強磁場，磁場方向垂直紙面向里，勻強磁場的磁感應強度為B，筒形場區的邊界由彈性材料構成．一個質量為m、電荷量為q的正離子（不計重力）以某一速度從簡壁上的小孔M進入筒中，速度方向與半徑成θ=30⁰夾角，并垂直于磁場方向．離子和筒壁的碰撞無能量和電荷量的損失．若選擇合適的進入速度，離子可以從M孔射出．問：
（1）離子的速度多大時，離子可以在最短的時間內返回M孔？最短的時間是多少？
（2）如果離子與筒壁發生兩次碰撞后從M孔射出，離子的速率是多大？從進入圓筒到返回M孔經歷的時間是多少？
（3）如果離子與筒壁發生n次碰撞后從M孔射出，離子的速率又是多大？

Answer 1

分析 （1）離子與筒壁碰撞一次返回M孔時用的時間最短，作出粒=離子運動軌跡，求出粒子軌道半徑，應用牛頓第二定律求出粒子的速度，根據離子轉過的圓心角與周期公式求出粒子的運動時間．
（2）作出離子與筒壁碰撞兩次的運動軌跡，求出離子軌道半徑，應用牛頓第二定律求出粒子的速度，根據離子轉過的圓心角與周期公式求出粒子的運動時間．
（3）作出離子的運動軌跡，求出離子軌道半徑，應用牛頓第二定律求出粒子的速度，根據離子轉過的圓心角與周期公式求出粒子的運動時間．

解答 解：（1）離子與筒壁碰撞一次返回M孔運動時間最短，其運動軌跡如圖所示：

由幾何知識可得：r=2R，
洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{r}$，解得：v₁=$\frac{2qBR}{m}$，
離子在磁場中每段圓弧對應的圓心角α=60°，
離子在磁場中的運動時間：t₁=$\frac{2α}{360°}$T=$\frac{2×60°}{360°}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2πm}{3qB}$；
（2）離子與筒壁發生兩次碰撞后從M孔射出時運動軌跡如圖所示：

由幾何知識得：r=R，離子做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qv₂B=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{r}$，解得：v₂=$\frac{qBR}{m}$，
離子在磁場中走過的每段圓弧對應的圓心角：α′=120°，
離子的運動時間：t₂=T=$\frac{2πm}{qB}$；
（3）設碰撞n次后返回M孔時，每相鄰兩次碰撞點對應的場區的圓心角為θ，
必須滿足：（n+1）θ=2π，由幾何知識得：$\frac{θ}{2}$+β=$\frac{2π}{3}$，$\frac{R}{sinβ}$=$\frac{r}{sin\frac{θ}{2}}$，解得：r=$\frac{2Rtan\frac{π}{n+1}}{\sqrt{3}+tan\frac{π}{n+1}}$，
由牛頓第二定律得：qv_nB=m$\frac{{v}_{n}^{2}}{r}$，解得：v_n=$\frac{2qBR}{m}$$\frac{tan\frac{π}{n+1}}{\sqrt{3}+tan\frac{π}{n+1}}$；
答：（1）離子的速度為$\frac{2qBR}{m}$時，離子可以在最短的時間內返回M孔，最短的時間是$\frac{2πm}{3qB}$；
（2）如果離子與筒壁發生兩次碰撞后從M孔射出，離子的速率是$\frac{qBR}{m}$，從進入圓筒到返回M孔經歷的時間是$\frac{2πm}{qB}$；
（3）如果離子與筒壁發生n次碰撞后從M孔射出，離子的速率是$\frac{2qBR}{m}$$\frac{tan\frac{π}{n+1}}{\sqrt{3}+tan\frac{π}{n+1}}$．

點評 本題考查了離子在磁場中的運動，分析清楚離子運動過程、作出離子運動軌跡、應用幾何知識求出離子軌道半徑與圓心角是解題的關鍵，應用牛頓第二定律可以求出粒子的速度．