Question

如圖所示，豎直平面內(nèi)的3/4圓弧形光滑軌道半徑為R，C端與圓心O等高，D端在O的正上方，BE為與水平方向成θ=45°角的光滑斜面，B點(diǎn)在C端的正上方．一個(gè)可看成質(zhì)點(diǎn)的小球從A點(diǎn)由靜止開始釋放，自由下落至C點(diǎn)后進(jìn)入圓弧形軌道，過D點(diǎn)后恰好從斜面BE的B點(diǎn)滑上斜面（無(wú)碰撞現(xiàn)象）．
（1）求過D點(diǎn)時(shí)小球?qū)�軌道的作用力�?BR>（2）求釋放點(diǎn)A到地面的豎直高度H；
（3）欲使小球能落到斜面BE上的E點(diǎn)，求釋放點(diǎn)A到地面的豎直高度h．

Answer 1

分析：（1）小球從D到B點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，飛到B點(diǎn)速度與水平成45°，運(yùn)用速度的分解和平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，求出小球經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)的速度，由牛頓第二定律求解過D點(diǎn)時(shí)小球?qū)�軌道的作用力�?BR>（2）根據(jù)機(jī)械能守恒定律，研究從A經(jīng)C到D過程，即可求得H；
（3）小球落到B點(diǎn)時(shí)，由幾何關(guān)系求出D與B高度差，小球從D平拋飛至E點(diǎn)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出小球經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)的速度，即可由機(jī)械守恒定律求出h．

解答：解：（1）小球從D平拋至B恰好與斜面無(wú)碰撞，則飛到B點(diǎn)速度與水平成45°，故有：
   v_BX=v_D…①
   v_By=gt…②
且tan45°=

vBy

vD

…③
   R=v_Dt…④
解得：vD=

gR

，t=

R g

小球過D點(diǎn)有：F+mg=m

v 2 D

R

…⑤
解得F=0，即小球?qū)�軌道恰無(wú)壓力．
（2）從A經(jīng)C到D，由機(jī)械能守恒有：
  mg(H-2R)=

1

2

m

v

2 D

…⑥
解得H=2.5R
（3）小球落到B點(diǎn)時(shí)，D與B高度差 h=

1

2

gt2=0.5R…⑦
即B點(diǎn)距E高度為1.5R
要使小球從D平拋飛至E點(diǎn)須  2R=

1

2

gt′2…⑧
  R+1.5Rcot45°=v′_D?t′…⑨
解得：v′D=1.25

gR

同理從A到D結(jié)合⑥式解得：H′=

89

32

R
答：（1）求過D點(diǎn)時(shí)小球?qū)�軌道的作用力是零�?BR>（2）釋放點(diǎn)A到地面的豎直高度H是2.5R；
（3）欲使小球能落到斜面BE上的E點(diǎn)，釋放點(diǎn)A到地面的豎直高度是

89

32

R．

點(diǎn)評(píng)：本題是機(jī)械能守恒定律、牛頓第二定律和平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，關(guān)鍵是把握每個(gè)過程的物理規(guī)律．