Question

如圖所示，間距為d的帶電平行金屬板P和Q之間構成加速電子的電場，Q板右側區域I和區域II內存在勻強磁場．區域I左邊界與金屬板平行，區域Ⅱ的左邊界與區域I的右邊界重合．已知區域I內的磁場垂直于Oxy平面向外，區域II內的磁場垂直于Oxy平面向里，且磁感應強度大小均為B，區域I和區域II沿x軸方向的寬度均為

3 mv0

2Be

．以區域I的左邊界為y軸，以電子進入區域I時的入射點為坐標原點建立xOy平面直角坐標系．一電子從P板逸出，經過P、Q間電場加速后沿著x軸正向以速度v₀先后通過區域I和區域II，設電子電荷量為e，質量為m，不計電子重力．
（1）求P、Q間電場強度的大小E；
（2）求電子從區域Ⅱ右邊界射出時，射出點的縱坐標y；
（3）撤除區域I中的磁場而在其中加上沿x軸正向的勻強電場，使得該電子剛好不能從區域Ⅱ的右邊界飛出．求電子的區域II中運動的速度v和在區域I中運動的平均速度

.

v

．

Answer 1

分析：（1）電子在經過P、Q間電場加速時，電場力做功eEd．已知初速度為零，末速度為v₀，即可知動能的變化量，根據動能定理求出P、Q間電場強度的大小E．
（2）畫出電子進入磁場的運動軌跡．電子在磁場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，根據牛頓第二定律可得到半徑，根據幾何知識求出電子在磁場Ⅰ沿y軸偏轉的距離y₀，由題意，磁場Ⅱ與磁場Ⅰ磁感應強度大小相同，方向相反，則知電子在兩磁場區域偏轉距離相同，即可求出射出點的縱坐標y；
（3）沿x軸正向的勻強電場后，電子剛好不能從區域Ⅱ的右邊界飛出時，電子在磁場Ⅱ中做勻速圓周運動的軌跡恰好與區域Ⅱ的右邊界相切，畫出電子的運動軌跡，由幾何知識得到電子運動的半徑，根據半徑公式r=

mv

eB

，即可求出速度v．
電子通過區域Ⅰ時做勻加速直線運動，已知初速度v₀，末速度v，由運動學公式可求得在區域I中運動的平均速度

.

v

．

解答：解：（1）電子在P、Q間運動過程，由動能定理得
  eEd=

1

2

m

v

2 0

得E=

m v 2 0

2ed

（2）如圖所示，畫出電子在磁場中運動的軌跡．電子進入區域Ⅰ做勻速圓周運動，向上偏轉，洛倫茲力提供向心力，則有
   ev₀B=m

v 2 0

R

設電子在區域Ⅰ中沿y軸方向偏轉的距離為y₀．
由題意，區域Ⅰ的寬度為b=

3 mv0

2Be

，則由幾何知識得
  （R-y₀）²+b²=R²
解得，y₀=

mv0

2eB

因兩磁場的感應強度大小相等、方向相反，則電子在兩個磁場中偏轉距離相同，所以電子從區域Ⅱ右邊界射出時，射出點的縱坐標y=2y₀=2

mv0

2eB

．
（3）電子剛好不能從區域Ⅱ的右邊界飛出時，說明電子在磁場Ⅱ中做勻速圓周運動的軌跡恰好與區域Ⅱ的右邊界相切，畫出電子的運動軌跡如圖所示．
由幾何知識得到電子運動的半徑r=b=

3 mv0

2Be

．
根據半徑公式r=

mv

eB

，即有
 

mv

eB

=

3 mv0

2Be

．
解得，v=

3

2

v0
電子通過區域Ⅰ時做勻加速直線運動，則在此過程中運動的平均速度

.

v

=

v0+v

2

=

(2+ 3 )v0

4

．
答：（1）P、Q間電場強度的大小E是

m v 2 0

2ed

；
（2）電子從區域Ⅱ右邊界射出時，射出點的縱坐標y是2

mv0

2eB

；
（3）電子的區域II中運動的速度v為

3

2

v0，在區域I中運動的平均速度

.

v

是

(2+ 3 )v0

4

．

點評：本題的解題關鍵是畫出電子運動的軌跡，同時要抓住電子在三個場區運動時相等的量．