Question

如圖甲所示，一個絕緣傾斜直軌道固定在豎直面內，軌道的AB部分粗糙，BF部分光滑．整個空間存在著豎直方向的周期性變化的勻強電場，電場強度隨時間的變化規律如圖乙所示，t=0時電場方向豎直向下．在虛線的右側存在著垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B=

2πm

q

．現有一個質量為m，電量為q的帶正電的物體（可以視為質點），在t=0時從A點靜止釋放，物體與軌道間的動摩擦因數為μ，t=2s時刻，物體滑動到B點．在B點以后的運動過程中，物體沒有離開磁場區域，物體在軌道上BC段的運動時間為1s，在軌道上CD段的運動時間也為1s．（物體所受到的洛倫茲力小于2mgcosθ）
（1）若軌道傾角為θ，求物塊滑動到B的速度大小．
（2）若軌道傾角θ角未知，而已知BC及CD的長度分別為S₁、S₂，求出傾角θ的三角函表達式（用S₁、S₂、g表示）
（3）觀察物體在D點以后的運動過程中，發現它并未沿著斜面運動，而且物塊剛好水平打在H點處的豎直擋板（高度可以忽略）上停下，斜面傾角θ已知，求F點與H點的間距L．

Answer 1

（1）由題意可知 qE=mg       
t=0 到t=1s過程中，對物體有
2mgsinθ-2μmgcosθ=ma               
t=1s到t=2s過程中物體做勻速直線運動，所以
V_B=at₀=2gsinθ-2μgcosθ               
其中t₀=1s
（2）物體在t=2s到t=3s做勻加速直線運動，加速度為
a'=2gsinθ                        
在t=3s到t=4s做勻速圓周運動，周期為T=

2πm

qB

=1s
剛好完成一周，在t=4s到t=5s繼續以a'做勻加速運動到D點，則
S₂-S₁=a't₀²
解得：sinθ=

S2-S1

2g

（3）物體運動到D點時速度為
V_D=V_B+a'?2t₀=6gsinθ-2μg cosθ       
離開D點后做勻速圓周運動，半徑為R，軌跡如圖，則qBVD=

m V 2D

R

由幾何關系可知 

L

R

=tan

θ

2

聯立解得L=

g

π

(3sinθ-μcosθ)tan

θ

2

答：（1）若軌道傾角為θ，求物塊滑動到B的速度大小為2gsinθ-2μgcosθ．
（2）傾角θ的三角函表達式為sinθ=

S2-S1

2g

（用S₁、S₂、g表示）；
（3）F點與H點的間距L為

g

π

(3sinθ-μcosθ)tan

θ

2

．