Question

一輕質細繩一端系一質量為m=0.5kg的小球 A，另一端掛在光滑水平軸O上，O到小球的距離為L=0.2m，小球和水平面接觸但無相互作用，在球的兩側等距離處分別 固定一個光滑的大圓弧面和一個擋板，如圖所示，水平距離s為2m，動摩擦因數為0.25．現 有一小滑塊B，質量也為m，從圓弧面上滑下，與小球碰撞時交換速度，與擋板碰撞不 損失機械能．若不計空氣阻力，并將滑塊和小球都視為質點，g 取 10m/s²，試問：
（1）若滑塊B從圓弧面某一高度h處滑下與小球第一次碰撞后，使小球恰好在豎直平面內做圓周運動，求此高度 h 及繩子的最大拉力；
（2）若滑塊B從高H=6.25m 處的圓弧面上滑下，與小球碰撞后，小球在豎直平面內做圓周運動，求小球做完整圓周運動的次數．

Answer 1

分析：（1）要使小球恰好在豎直平面內做圓周運動，由重力提供向心力．根據牛頓第二定律列式，求出小球恰好通過最高點的速度，從最低點到最高點過程，根據機械能守恒定律列式，求出滑塊與小球碰撞前的速度大小；滑塊與小球碰撞時交換速度，再運用動能定理求解h．滑塊B與小球第一次碰后瞬間繩子對小球的拉力最大．對小球受力分析，受到重力和拉力，合力提供向心力，根據向心力公式和牛頓第二定律列式求解繩子的最大拉力；
（2）滑塊B與小球碰撞后，小球在豎直平面內做圓周運動，轉過一圈后恰好再次與小球碰撞，速度互換，滑塊與擋板碰撞反彈后再次與小球碰撞并互換速度，小球順時針轉動一周后，從右側與滑塊碰撞并交換速度，之后滑塊向左運動并返回到碰撞處，完成一個循環；之后重復這個過程，直到不在碰撞為止；根據能量守恒定律對整個過程列式求解即可得到碰撞次數．

解答：解：（1）要使小球恰好在豎直平面內做圓周運動，在最高點由重力提供向心力．則有
 mg=m

v 2 1

L

從最低點到最高點過程，由機械能守恒定律得：
 

1

2

mv2=mg?2L+

1

2

m

v

2 1

再由動能定理得：mgh-μmg?

s

2

=

1

2

mv2-0
聯立得h=

μs+5L

2

=0.75m
滑塊B與小球第一次碰后瞬間繩子對小球的拉力最大，設為T．
則 T-mg=m

v2

L

則得 T=6mg=30N
（2）滑塊和小球碰撞時速度恰好減為v時，碰后小球剛好做最后一次完整的周期運動，對應在這以前的一段時間內它在水平面上通過的總路程為S．
由動能定理得：mgh-μmgS=

1

2

mv2-0
解得，S=23m
小球做完整圓周圓周運動的次數為n=

S- s 2

s

+1=12
答：
（1）若滑塊B從圓弧面某一高度h處滑下與小球第一次碰撞后，使小球恰好在豎直平面內做圓周運動，此高度 h為0.75m，繩子的最大拉力是30N；
（2）若滑塊B從高H=6.25m 處的圓弧面上滑下，與小球碰撞后，小球在豎直平面內做圓周運動，小球做完整圓周運動的次數是12次．

點評：本題關鍵要明確物體的運動過程，知道滑動摩擦力做功與總路程有關，要能結合能量守恒定律、牛頓第二定律、向心力公式多次列式．