Question

如圖甲所示，平行金屬板A、B間的電壓U_AB=200 V，B板有一小孔O，靠近B板有一固定的絕緣圓筒，其橫截面半徑，O'在圓筒軸線上，筒壁有小孔H，O'HO共線且連線與圓筒軸線、B板均垂直，交A板于P點。現有一比荷的帶正電粒子，從A板上的P點附近由靜止釋放，在電場力作用下沿OO'方向射入圓筒。從粒子進入圓筒開始（計時零點），在圓筒內加入方向與軸線平行的交變磁場，磁感應強度隨時間變化如圖乙（垂直紙面向里為磁場正方向），粒子在磁場力作用下發生偏轉并與筒壁碰撞。（粒子與筒壁碰撞前后動能和電量均不變，且不計重力，忽略碰撞所用時間及磁場變化產生的感應影響）求：
(1)粒子第一次到達O點時的速率為多大？
(2)如果圖乙中的t₁時刻就是粒子進入圓筒后第一次碰撞到圓筒的時刻，t₁的值是多少？
(3)如果圖乙中的t₁和t₁+t₂時刻分別是粒子進入圓筒后第一次和第二次碰撞到圓筒的時刻，要使粒子能做周期性的往返運動，則金屬板A和B間的距離d至少為多大？

Answer 1

解：(1)粒子從A板到B板過程中，電場力做正功，根據動能定理有

代入數值，解得v=200 m/s
(2)粒子進入圓筒后做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，有
由，
粒子運動軌跡如圖，由幾何關系可知

粒子轉過的圓心角φ為120°，需要的時間
(3)在t₁～(t₁+t₂)時間內，粒子做勻速圓周運動的半徑
周期
由幾何關系可知，
粒子轉過的圓心角φ'為60°，需要的時間
要使粒子做周期性的往返運動，粒子在A、B板間的時間至少應為
根據勻變速運動規律有
又有qE=ma


代入數值得d=25π×10^-2 m≈0.785 m