Question

為了探索宇宙的無窮奧秘，人們進行了不懈努力，假設我們發射了一顆繞X行星的衛星，不停地向地球發射無線電波，而地球上的接收裝置與衛星繞X行星的軌道平面在同一平面內，接收裝置具有測量向著該裝置和背離該裝置的速度的功能，結果發現：①接收到的信號時有時無，t₁時間內有信號，接著t₂時間內無信號，周而復始，不斷重復，用t₁≈t₂=t₀；②接收到的速度信號隨時間的變化關系如圖所示（圖中v₀為已知，符號為正的表示指向接收器的速度，符號為負表示是背離接收器的速度）．試根據以上特點求：
（1）該行星的平均密度；
（2）該行星的質量；
（3）該行星的第一宇宙速度和表面的重力加速度．
（注：所有答案均用相關常量和t₀、v₀表示）

Answer 1

分析：根據萬有引力提供向心力表示出中心體的質量，再求出密度．
根據圓周運動知識求出行星的半徑，再求出其質量．
第一宇宙速度是近地衛星的運行速度，根據萬有引力等于重力求出重力加速度．

解答：解：由題意知道，T=2t₀，是近X行星的衛星的周期，運行速度為v₀．
（1）根據萬有引力提供向心力得

GMm

r2

=

m?4π2r

T2

  r=R
M=

4π2r3

GT2

 
ρ=

M

V

=

3π

4 Gt 2 0

（2）根據圓周運動知識得
T=

2πR

v0

R=

t0v0

π

M=ρ?

4

3

πR³=

t0v 3 0

Gπ

（3）第一宇宙速度是近地衛星的運行速度，所以第一宇宙速度是v₀ ．
根據萬有引力等于重力得
重力加速度g=

GM

R2

=

πv0

t0

．
答：（1）該行星的平均密度是

3π

4 Gt 2 0

；
（2）該行星的質量是

t0v 3 0

Gπ

；
（3）該行星的第一宇宙速度和表面的重力加速度是

πv0

t0

．

點評：解決該題關鍵要清楚圖象的意義和獲得的信息，再結合萬有引力定律的知識求解．