Question

如圖所示，在xoy坐標系第一象限內有一個與x軸相切于Q點的有理想邊界圓形勻強磁場，磁感應強度為B，方向垂直紙面向外，一帶電粒子（不計重力）質量為m，帶電荷量為+q，以初速度v₀從P點進入第一象限，已知θ=30°．經過該圓形有界磁場時．速度方向改變了α=60°，并從x軸上的Q點射出．試求：
（1）該圓形磁場區域的半徑R；
（2）該粒子在磁場中的運動時間t．
（3）使帶電粒子不能穿過x軸時圓形磁場區域的最小半徑r．

Answer 1

分析：（1）可以通過幾何關系求出粒子做圓周運動的半徑和軌跡圓半徑的關系，再根據圓周運動的半徑公式即可求解；
（2）可先求圓弧對應的圓心角，根據圓心角和周期之間的關系及周期公式求解；
（3）帶電粒子不能穿過x軸時圓形磁場區域，跟x軸相切時半徑最小，根據幾何關系及圓周運動的半徑公式即可求解．

解答：解：（1）如下圖所示：

設粒子從A點射入磁場，連QA得弦，因速度偏轉角為60°，那么弦切角就為30°，可知弦QA平行于y軸，又因為磁場區域圓在Q點與x軸相切，因此，AQ也是區域圓的直徑；而粒子在磁場中轉過的圓心角為α=60°，可知△AO'Q為等邊三角形，有：2R=r（r為軌跡圓半徑）
又因為r=

mv0

Bq

所以圓形磁場區域的半徑為R=

mv0

2qB

．
（2）T=

2πm

Bq

圓弧對應的圓心角α=60°  
t=

α

2π

T=

T

6

=

πm

3Bq

．
（3）因為第一小題中已求得：
    r=

mv0

Bq

  如下圖所示：

R=rcosa=rcos30°
R=

3

2

r=

3 mv0

2Bq

．
答：（1）該圓形磁場區域的半徑為R=

mv0

2qB

；
    （2）該粒子在磁場中的運動時間為

πm

3Bq

；
    （3）使帶電粒子不能穿過x軸時圓形磁場區域的最小半徑為

3 mv0

2Bq

．

點評：該題主要考查帶電粒子在磁場中運動的半徑及周期公式的應用，難度較大．