Question

如圖所示,水平桌面上有一輕彈簧,左端固定在A點,自然狀態時其右端位于B點.水平桌面右側有一豎直放置的光滑軌道MNP,其形狀為半徑R=0.8 m的圓環剪去了左上角的135⁰的圓弧,MN為其豎直直徑,P點到桌面的豎直距離也是R.用質量m₁=0.4 kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點,釋放后彈簧恢復原長時物塊恰停止在B點.用同種材料､質量為m₂=0.2 kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點釋放,物塊過B點后其位移與時間的關系為x=6t-2t²,物塊飛離桌面后由P點沿切線落入圓軌道.g=10 m/s²,求:

(1)物塊運動到P點速度的大小和方向;

(2)判斷m₂能否沿圓軌道到達M點;

(3)釋放后m₂運動過程中克服摩擦力做的功.

 

Answer 1

解析:(1)設物塊由D點以初速度v_D做平拋運動,落到P點時其豎直速度為v_y²=2gR

  得v_D=v_y=4 m/s

所以到P的速度為m/s,方向與水平方向夾角為45⁰

(2)若物塊能沿軌道到達M點,其速度為v_M,    m₂v²_M=m₂v²_D-m₂gR

軌道對物塊的壓力為F_N,則F_N + m₂g=m₂

解得F_N=(1-)m₂g<0

即物塊不能到達M點.

(3)設彈簧長為AC時的彈性勢能為E_p,物塊與桌面間的動摩擦因數為μ,釋放m₁時,E_p=μm₁gs_CB

釋放m₂時,E_p =μm₂gs_CB +m₂v²₀

且m₁=2m₂,得E_p = m₂v²₀ =7.2 J

m₂在桌面上運動過程中克服摩擦力做功為W_f,

則E_p-W_f=m₂v²_D  可得W_f=5.6 J.