Question

如圖半徑分別為2R和R的甲、乙兩光滑圓形軌道固定放置在同一豎直平面內，兩軌道之間由一條水平軌道CD相連，曲面軌道與水平面軌道在B處光滑連接（物塊經過B點時沒有機械能損失），現有一小物塊從斜面上高h處的A點由靜止釋放，曲面軌道以及水平軌道BC段是光滑的，小物塊與CD段以及D右側的水平軌道間的動摩擦因數均為μ．已知小物塊通過甲軌道最高點時與軌道間壓力為物塊重力的3倍，而后經過有摩擦的CD段后又進入乙軌道運動．
（1）求初始釋放物塊的高度h
（2）為避免出現小物塊脫離圓形軌道乙而發生撞軌現象，則CD段的長度應滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）根據動能定理，結合在最高點重力和壓力的合力提供向心力求出初始釋放物塊的高度．
（2）根據牛頓第二定律求出小物塊在乙軌道最高點的最小速度，通過動能定理求出CD段的長度應滿足的條件．

解答：解：（1）根據動能定理得，
mg(h-4R)=

1

2

mvp2----------①
根據牛頓第二定律得，mg+Np=m

vp2

2R

----------②
已知 N_p=3mg
得 h=8R---------③
（2）若能通過最高點有：
mg(h-2R)-μmgx=

1

2

mvQ2----------④
NQ+mg=m

vQ2

R

----------⑤
因為N_Q≥0 所以有vQ≥

gR

----------⑥
得x=

h-2R

μ

-

vQ2

2μg

得x≤

11R

2μ

----------⑦
若不能到達圓心對應的水平線以上，則速度可減小到零，設能上升的高度為h′，有：mg（h-h′）-μmgx=0----------⑧
h′≤R----------⑨
得x≥

7R

μ

----------⑩
答：（1）初始釋放物塊的高度為8R．
（2）CD段的長度應滿足x≥

7R

μ

．

點評：本題考查動能定理和牛頓第二定律的綜合運用，難度中等，需加強這方面題型的訓練．