Question

如圖所示，固定的凹槽水平表面光滑，其內(nèi)放置U形滑板N，滑板兩端為半徑R=0.45m的1/4圓弧面．A和D分別是圓弧的端點(diǎn)，BC段表面粗糙，其余段表面光滑．小滑塊P₁和P₂的質(zhì)量均為m．滑板的質(zhì)量M=4m，P₁和P₂與BC面的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ₁=0.10和μ₂=0.40，最大靜摩擦力近似等于滑動(dòng)摩擦力．開(kāi)始時(shí)滑板緊靠槽的左端，P₂靜止在粗糙面的B點(diǎn)，P₁以v₀=4.0m/s的初速度從A點(diǎn)沿弧面自由滑下，與P₂發(fā)生彈性碰撞后，P₁處在粗糙面B點(diǎn)上．當(dāng)P₂滑到C點(diǎn)時(shí)，滑板恰好與槽的右端碰撞并與槽牢固粘連，P₂繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，到達(dá)D點(diǎn)時(shí)速度為零．P₁與P₂視為質(zhì)點(diǎn)，取g=10m/s²．問(wèn)：
（1）P₂在BC段向右滑動(dòng)時(shí)，滑板的加速度為多大？
（2）BC長(zhǎng)度為多少？N、P₁和P₂最終靜止后，P₁與P₂間的距離為多少？

Answer 1

（1）P₁滑到最低點(diǎn)速度為v₁，由機(jī)械能守恒定律有：

1

2

m

v

20

+mgR=

1

2

m

v

21

解得：v₁=5m/s
P₁、P₂碰撞，滿足動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒定律，設(shè)碰后速度分別為v′₁、v′₂
則由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒可得：
mv₁=mv′₁+mv′₂

1

2

m

v

21

=

1

2

mv

′

21

+

1

2

mv

′

22

解得：v′₁=0、v′₂=5m/s
P₂向右滑動(dòng)時(shí)，假設(shè)P₁保持不動(dòng)，對(duì)P₂有：f₂=μ₂mg=4m（向左）
對(duì)P₁、M有：f=（m+M）a₂
a2=

f

m+M

=

4m

5m

=0.8m/s2
此時(shí)對(duì)P₁有：f₁=ma=0.80m＜f_m=1.0m，所以假設(shè)成立．
故滑塊的加速度為0.8m/s²；
（2）P₂滑到C點(diǎn)速度為v₂′，由mgR=

1

2

mv

′

22

得v′₂=3m/s
P₁、P₂碰撞到P₂滑到C點(diǎn)時(shí)，設(shè)P₁、M速度為v，對(duì)動(dòng)量守恒定律：mv₂=（m+M）v+mv′₂
解得：v=0.40m/s
對(duì)P₁、P₂、M為系統(tǒng)：f2L=

1

2

m

v

22

-

1

2

mv′22+

1

2

(m+M)v2
代入數(shù)值得：L=1.9m
滑板碰后，P₁向右滑行距離：S1=

v2

2a1

=0.08m
P₂向左滑行距離：S2=

v ′ 22

2a2

=1.125m
所以P₁、P₂靜止后距離：△S=L-S₁-S₂=0.695m
故最后兩物體相距0.695m．