Question

4．如圖所示的豎直直角坐標(biāo)平面xoy內(nèi)有兩條過原點(diǎn)的射線OA和OB與x軸的正半軸和負(fù)半軸都成45°角，在x軸上方∠AOB區(qū)域間分布著方向垂直紙面向外大小為B₁的勻強(qiáng)磁場，在x軸的下方存在著方向垂直紙面向外大小為B₂=$\frac{mv}{qL}$的勻強(qiáng)磁場，現(xiàn)有一質(zhì)量為m，帶電量為+q的帶電粒子以速度v從位于直線OA上的P（L，L）點(diǎn)豎直向下射出，經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)，此粒子每經(jīng)過相同的時間T會回到P點(diǎn)，（不計(jì)粒子重力）
（1）求勻強(qiáng)磁場$\frac{B_1}{B_2}$之比；
（2）求粒子相鄰兩次經(jīng)過P點(diǎn)的時間間隔T；
（3）若保持B₂不變，而∠AOB間的磁場方向不變，現(xiàn)從P點(diǎn)向下發(fā)射兩個速度在0-$\frac{v}{2}$范圍內(nèi)與原來相同的帶電粒子（不計(jì)兩個粒子間的相互作用力），它們進(jìn)入∠AOB間的勻強(qiáng)磁場后都要經(jīng)過P點(diǎn)，求∠AOB間的磁感應(yīng)強(qiáng)度的B'₁的大�。�
（4）請判斷：題（3）中若從P點(diǎn)向下發(fā)射的是一群速度在0-$\frac{v}{2}$范圍內(nèi)與原來比荷相同的帶電粒子（不計(jì)粒子間的相互作用力）它們進(jìn)入B₁′的勻強(qiáng)磁場后能否都經(jīng)過P點(diǎn)．（不需要寫理由）

Answer 1

分析 （1）粒子從P點(diǎn)向下，運(yùn)動過程的軌跡圖畫出來，根據(jù)對稱性，在上下兩磁場中勻速圓周運(yùn)動的半徑相等
（2）求出粒子在上下磁場中的軌道半徑，圓周運(yùn)動的規(guī)律求在磁場中的時間，在磁場外用勻速運(yùn)動規(guī)律求時間
（3）畫出粒子運(yùn)動的軌跡，通過幾何關(guān)系可知在上面磁場中圓周運(yùn)動半徑是下方磁場中圓周運(yùn)動半徑的2倍，粒子在下方磁場中運(yùn)動半個周期，在上方磁場中運(yùn)動四分之一圓周，再由半徑公式得出磁感應(yīng)強(qiáng)度之間的關(guān)系，從而求出上方磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度
（4）同（3）分析得出在$0-\frac{v}{2}$范圍的所有粒子運(yùn)動只是軌道不同，運(yùn)動的規(guī)律一樣，從P先向下勻速，再圓周運(yùn)動半周，然后勻速，進(jìn)入第一象限磁場做四分之一圓周，所以都能到P點(diǎn)

解答 解：（1）由P點(diǎn)射出的粒子先做勻速直線運(yùn)動進(jìn)入勻強(qiáng)磁場${B}_{2}^{\;}$中，設(shè)勻速圓周運(yùn)動的半徑為${R}_{2}^{\;}$，
由$qv{B}_{2}^{\;}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{{R}_{2}^{\;}}$得：${R}_{2}^{\;}=\frac{mv}{q{B}_{2}^{\;}}$=L
粒子每經(jīng)過相同時間T會回到P點(diǎn)必滿足在勻強(qiáng)磁場${B}_{1}^{\;}$中半徑${R}_{1}^{\;}$大小為：
$qv{B}_{1}^{\;}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{{R}_{1}^{\;}}$
得：${R}_{1}^{\;}=\frac{mv}{q{B}_{1}^{\;}}=L$
$\frac{{B}_{1}^{\;}}{{B}_{2}^{\;}}=1$
（2）帶電粒子在無勻強(qiáng)磁場運(yùn)動的時間為：${t}_{1}^{\;}=\frac{2L}{v}$
在勻強(qiáng)磁場${B}_{2}^{\;}$中運(yùn)動時間為：${t}_{2}^{\;}=\frac{πL}{v}$
在勻強(qiáng)磁場${B}_{1}^{\;}$中運(yùn)動時間為：${t}_{3}^{\;}=\frac{πL}{v}$
故粒子相鄰兩次經(jīng)過P點(diǎn)的時間間隔為：$T={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}=\frac{2L}{v}+\frac{2πL}{v}$
（3）從P點(diǎn)向下發(fā)射速度為${v}_{x}^{\;}$滿足范圍為$0-\frac{v}{2}$與原來相同的帶電粒子，由于保持${B}_{2}^{\;}$不變，當(dāng)速度v時半徑為L，則速度為$0-\frac{v}{2}$的粒子必定經(jīng)過半個周期后在x軸正半軸間返回∠AOB間磁場，如圖2所示，進(jìn)入${B}_{1}^{'}$勻強(qiáng)磁場后都要經(jīng)過P點(diǎn)，則在${B}_{1}^{'}$磁場中運(yùn)動的半徑為${B}_{2}^{\;}$磁場中運(yùn)動半徑的兩倍，即$2\frac{m{v}_{x}^{\;}}{q{B}_{2}^{\;}}=\frac{m{v}_{x}^{\;}}{q{B}_{1}^{'}}$
得：$\frac{{B}_{1}^{'}}{{B}_{2}^{\;}}=\frac{1}{2}$
即：${B}_{1}^{'}=\frac{{B}_{2}^{\;}}{2}=\frac{mv}{2qL}$
（4）能
答：（1）勻強(qiáng)磁場$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$之比為$\frac{{B}_{1}^{\;}}{{B}_{2}^{\;}}=1$
（2）粒子相鄰兩次經(jīng)過P點(diǎn)的時間間隔$T=\frac{2L}{v}+\frac{2πL}{v}$
（3）∠AOB間的磁感應(yīng)強(qiáng)度的B′₁的大小為${B}_{1}^{'}=\frac{mv}{2qL}$
（4）能

點(diǎn)評 根據(jù)粒子在洛倫茲力作用下做圓周運(yùn)動，依據(jù)幾何特性作圖時解題關(guān)鍵，本題第三問、第四問重點(diǎn)考查作圖能力，畫軌跡是解決這類問題的關(guān)鍵．