Question

18．某星球的半徑是地球半徑的$\frac{1}{2}$，質量是地球質量的$\frac{1}{2}$，中國的一輛星球車，高h=1.6m，在該星球表面以加速度a=2m/s²勻加速直線行駛，當速度為2m/s時突然車頂掉下一個質量為m的物體，試求（地球地面重力加速度g=10m/s²）
（1）當物體落地時，物體與小車的距離；
（2）如果物體與地面的動摩擦因數為0.1，那么當物體停下來時與小車的距離．（物體落地時豎直速度由于碰撞而損失）

Answer 1

分析 （1）在星體表面上根據衛星的萬有引力等于重力，得到重力加速度大小表達式，進而通過求解該星球表面的重力加速度與地球表面重力加速度的比值，進一步得到星球表面的重力加速度；根據平拋運動的知識結合加速度比值可以求得從該星球上，從同樣高度以同樣速度平拋一物體的水平射程．
（2）由牛頓第二定律求出物塊的加速度，由運動學的公式求出物塊在地面上運動的時間，然后求出小車的位移，由空間幾何關系即可求出它們之間的距離．

解答 解：（1）在星體表面上萬有引力等于重力，故：
$\frac{GMm}{r^2}=mg$
解得：g=$\frac{GM}{r^2}$
則$\frac{{g}_{星}}{{g}_{地}}=\frac{{M}_{星}{R}_{地}^{2}}{{M}_{地}{R}_{星}^{2}}=\frac{1}{2}•（\frac{2}{1}）^{2}=\frac{2}{1}$
故${g}_{星}=2{g}_{地}=20m/{s}^{2}$
在星球表面上物塊做類平拋運動；
水平方向：s=v₀t₁
豎直方向：$h=\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$ 
聯立得：${t}_{1}=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×1.6}{20}}=0.4$s；${s}_{物}={v}_{0}\sqrt{\frac{2h}{{g}_{星}}}=2×\sqrt{\frac{2×1.6}{20}}=0.8m$
小車在t₁時間內的位移：${s}_{車}={v}_{0}{t}_{1}+\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}=2×0.4+\frac{1}{2}×2×0．{4}^{2}=0.96$m
所以當物體落地時，物體與小車的距離：x₁=s_車-s_物=0.96-0.8=0.16m
（2）物體落地后的加速度：$a′=\frac{μm{g}_{星}}{m}=μ{g}_{星}=0.1×20=2m/{s}^{2}$
落地后停止的時間：${t}_{2}=\frac{{v}_{0}}{a′}=\frac{2}{2}=1$s
該過程中物體的位移：${s}_{物}′={v}_{0}{t}_{2}-\frac{1}{2}a′{t}_{2}^{2}=2×1-\frac{1}{2}×2×{1}^{2}=1$m
物體落地時車的速度：v₁=v₀+at₁=2+2×0.4=2.8m/s
車的位移：${s}_{車}′={v}_{1}{t}_{2}+\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}=2.8×1+\frac{1}{2}×2×{1}^{2}=3.8$m
所以當物體停下來時與小車的距離x₂=x₁+s_車′-s_物′=0.16+3.8-1=2.96m
答：（1）當物體落地時，物體與小車的距離是0.16m；
（2）如果物體與地面的動摩擦因數為0.1，那么當物體停下來時與小車的距離是2.96m．

點評 該圖中把平拋運動、牛頓第二定律、星球表面的物體運動和天體運動結合起來是考試中常見的問題．
重力加速度g是天體運動研究和天體表面宏觀物體運動研究聯系的物理量．