Question

如圖所示，有一定長度的木板C放在光滑水平面上，長木板上面放置可視為質點的木塊A、B，A、B、C的質量分別是m_A=m_B=m_C=0.2Kg，木塊A、B相距0.2m，放在長木板上適當的位置，它們與長木板間的動摩擦因數相同均為μ=0.2，三物塊均在同一直線上，開始時都處于靜止狀態．某時刻同時對A、B施加相反方向的恒力，F₁=1N，F₂=0.6N，如圖所示，經過t=1s的時間，同時撤去這兩個力，問：
（1）在同時對A、B施加相反方向的恒力的過程中，木板C的運動狀態應該怎樣，請說明理由；
（2）若要使A、B最終不滑離長木板，木板C的長度至少為多少？

Answer 1

分析：在F₁、F₂作用下分別求出A、B的加速度，進而求出撤去外力時AB的位移和速度，撤去這兩個力后，A、B的加速度大小相等，分別求出AB停止運動的時間和運動的位移，根據位移之間的關系即可求解．

解答：解：（1）A、B與木板間滑動摩擦力的大�。篺_A=f_B=μm_Ag=0.4N，F₁＞F₂，F₂＞f_B，A、B木板分別向左、向右做勻加速直線運動，A、B對木板C的摩擦力大小相，方向相反，所以在同時對A、B施加相反方向的恒定摩擦力的過程中，木板C保持靜止．
（2）恒力作用時A、B的加速度大�。�
aA=

F1-μmAg

mA

=

1-0.2×0.2×10

0.2

=3m/s 2              
aB=

F2-μmBg

mB

=

0.6-0.2×0.2×10

0.2

=1m/s 2
恒力作用1s末A、B的速度大小：
v_A=a_At=3×1=3m/s               
v_B=a_Bt=1×1=1m/s
撤去兩個力后，兩個物體由于慣性繼續運動，加速度大�。�
a′A=a′B=2m/s2
B先相對于C靜止，運動時間：
t1=

vB

a′B

=

1

2

=0.5s
這段時間C一直保持靜止狀態，A、B的位移分別為
S_A=

1

2

aAt2+vA1

t

1

-

1

2

aA

′t

2 1

=

1

2

×3×12+3×0.5-

1

2

×2×0．52=2.75m
s_B=

1

2

aBt2+vB1

t

1

-

1

2

aB

′t

2 1

=

1

2

×1×12+1×0.5-

1

2

×2×0．52=0.75m
此時A的速度：v_A1=v_A-a′_At₁=2m/s
以后B相對于C靜止，A做勻減速運動，C和B向左做勻加速運動（相對靜止），C的加速度為：
a_C=

μmAg

mB+mC

=

1

2

μg=1m/s²
設此后到相對靜止的運動時間為t₂，根據速度時間關系公式，有：
v_A1-a_A′t₂=a_Ct₂
代入數據，有：2-2t₂=t₂
故A相對于C運動時間：t₂=

2

3

s
該段時間內，A相對于C運動距離△s=（v_A1t₂-

1

2

aA′

t

2 2

）-

1

2

aC

t

2 2

=2×

2

3

-

1

2

×2×(

2

3

)2-

1

2

×1×(

2

3

)2=

2

3

m≈0.67m
木板總長度為s=S_A+S_B+△S=2.75+0.75+0.67=4.17m
答：（1）在同時對A、B施加相反方向的恒力的過程中，木板C處于靜止狀態；
（2）木板C至少要4.17m．

點評：本題是相對運動的題目，要求同學們能正確分析物體的受力情況和運動情況，根據牛頓第二定律及運動學基本規律解題，難度較大．