Question

如圖所示，傾角均為θ=45°的固定光滑金屬直軌道ce和c'e'，與半徑為r的豎直光滑絕緣圓弧軌道abc和a'b'c'分別相切于c和c'點，兩切點與對應圓心的連線和豎直方向夾角均為θ=45°，e和e'間接有阻值為R的電阻，矩形cc'd'd區域內存在與該平面垂直的磁場，磁感應強度B=B₀sin（x），式中x為沿直軌道向下離開邊界dd'的距離，且，長度也為L、阻值為R的導體棒在外力作用下，從磁場邊界dd'沿直軌道向下勻速通過磁場，到達邊界cc'時撤去外力，導體棒恰能沿圓弧軌道通過最高處aa'，金屬軌道電阻及空氣阻力均不計，重力加速度為g，求：
（1）導體棒通過aa'時速度υ的大小；
（2）導體棒勻速通過磁場時速度υ₀的大小；
（3）導體棒勻速通過磁場過程中棒上產生的熱量Q．

Answer 1

分析：（1）抓住恰好通過圓弧軌道最高處的特點，運用牛頓第二定律求解．
（2）導體棒從邊界cc′運動到最高處aa′過程中，根據機械能守恒定律求解．
（3）根據正弦式交流電的特點求出電流的有效值，再求出導體棒產生的熱量．

解答：解：（1）設導體棒質量為m，恰好通過圓弧軌道最高處aa′滿足mg=m

v2

r

解得υ=

gr

（2）導體棒從邊界cc′運動到最高處aa′過程中，根據機械能守恒定律得

1

2

m

v

2 0

=

1

2

mυ²+mg（r+rcosθ）                                  
解得υ₀=

(3+ 2 )gr

（3）導體棒勻速通過磁場區域歷時t=

l

v0

棒中正弦式交流電的感應電動勢e=BLυ₀=B₀Lυ₀sin（υ₀t）         
棒中電流的最大值I_m=

B0Lv0

2R

=

(3+ 2 )gr B0L

2R

棒中電流的有效值I_有=

B0Lv0 2R

2

=

(3+ 2 )gr B0L

2 2 R

導體棒產生的熱量Q=I_有²Rt=

(3+ 2 )gr B 2 0 L2l

8R

答：（1）導體棒通過aa'時速度υ的大小是

gr

；
（2）導體棒勻速通過磁場時速度υ₀的大小是

(3+ 2 )gr

；
（3）導體棒勻速通過磁場過程中棒上產生的熱量是

(3+ 2 )gr B 2 0 L2l

8R

．

點評：對物體的受力分析和運動過程分析是解決這類問題的前提．
磁感應強度B是正弦規律變化的，產生的感應電流也是正弦式交流電，抓住這類交變電流的特點解決問題．