Question

如圖所示，質量為m的導體棒曲垂直放在光滑足夠長的U形導軌的底端，導軌寬度和棒長相等且接觸良好，導軌平面與水平面成θ角，整個裝置處在與導軌平面垂直的勻強磁場中．現給導體棒沿導軌向上的初速度v₀，經時間t₀導體棒到達最高點，然后開始返回，到達底端前已經做勻速運動，速度大小為

v0

4

．已知導體棒的電阻為R，其余電阻不計，重力加速度為g，忽略電路中感應電流之間的相互作用．求：
（1）導體棒從開始運動到返回底端的過程中，回路中產生的電能；
（2）導體棒在底端開始運動時的加速度大小；
（3）導體棒上升的最大高度．

Answer 1

分析：（1）根據能量的轉化與守恒，導體棒減少的動能轉化為回路中的電能；
（2）導體棒在底端開始運動時受到重力、斜面的支持力和安培力的作用，沿斜面的方向重力的分力與安培力提供加速度，根據牛頓第二定律即可求出加速度；
（3）上升的過程中，導體棒的動能轉化為它的重力勢能和回路的電能．

解答：解：（1）據能量守恒，得△E=

1

2

mv₀²-

1

2

m（

v0

4

）²=

15

32

mv₀²
（2）在底端，設棒上電流為I，加速度為a，由牛頓第二定律，則：
（mgsinθ+BIL）=ma₁
由歐姆定律，得I=

E

R

  E=BLv₀
由上述三式，得a1=gsinθ+

B2L2v0

R

∵棒到達底端前已經做勻速運動∴mgsinθ=

B2L2v0

4R

代人數據，得a₁=5gsinθ
（3）選沿斜面向上為正方向，上升過程中的加速度，上升到最高點的路程為S，
a=-（gsinθ+

B2L2v

mR

）
取一極短時間△t，速度微小變化為△v，由△v=a△t，得
△v=-gsinθ?△t-

B2L2v△t

mR

其中，v△t=△s
在上升的全過程中
∑△v=-（gsinθ∑△t+B²L²∑

△s

mR

）
即          0-v0=-gt0sinθ-

B2L2s

mR

∵H=S?sinθ       且gsinθ=

B2L2v0

4mR

∴H=

v 2 0 -v0gtsinθ

4g

答：（1）導體棒從開始運動到返回底端的過程中，回路中產生的電能

15

32

m

v

2 0

；
（2）導體棒在底端開始運動時的加速度大小5gsinθ；
（3）導體棒上升的最大高度H=

v 2 0 -v0gtsinθ

4g

．

點評：解決這類問題的關鍵時分析受力，進一步確定運動性質，并明確判斷各個階段及全過程的能量轉化．在計算導體棒上升的最大高度時用到積分的概念，屬于競賽試題．