Question

（2011?天門二模）如圖所示，離地面足夠高處有一豎直的空管，質量為2kg，管長為24m，M、N為空管的上、下兩端，空管受到F=16N豎直向上的拉力作用，由靜止開始豎直向下做加速運動，同時在M處一個大小不計的小球沿管的軸線以初速度v₀豎直上拋，不計一切阻力，取g=10m/s²．求：
（1）若小球上拋的初速度為10m/s，經過多長時間從管的N端穿出？
（2）若此空管的N端距離地面64m高，欲使在空管到達地面時小球必須落到管內，在其他條件不變的前提下，求小球的初速度v₀大小的范圍．

Answer 1

分析：（1）對于這類相對運動問題注意選擇參照系，以地面為參照系，二者均做勻變速直線運動，最后小球穿出時，二者位移差為管長L，據此列方程可正確求解．
（2）小球下落時，要保證落入空管就要在空管下落的時間內其位移大于64m，同時還要要求在下落期間，小球不能提前落地，即小于h+L=88m，據此列方程即可解答．

解答：解：（1）以向下方向為正方向．
對空管，由牛頓第二定律可得：：mg-F=ma，得：a=2m/s²
設經t時間，小球從N端穿出，小球下落的高度：
h1=-v0t+

1

2

gt2
空管下落的高度：
h2=

1

2

at2
則，h₁-h₂=L
聯立得：
-v0t+

1

2

gt2-

1

2

at2=L
代入數據解得：t=4s，t=-1.5s（舍）
故小球經過4s時間從管內穿出．
（2）設小球初速度v₀，空管經t'時間到達地面，則：
H=

1

2

a(t′)2，得：t′=

2H a

=8s
小球在t′時間下落高度為：
h=v0t′+

1

2

g(t′)2
小球落入管內的條件是：64m≤h≤88m 
解得：29m/s≤v₀≤32m/s
所以小球的初速度大小必須在29m/s到32m/s范圍內．
故小球速度的范圍為：29m/s≤v₀≤32m/s．

點評：本題有一定的難度，考查了多物體多過程問題，只要把握了兩物體之間的位移關系，就找到了解決問題的突破口．