Question

（22分）質量為m的飛機模型，在水平跑道上由靜止勻加速起飛，假定起飛過程中受到的平均阻力恒為飛機所受重力的k倍，發動機牽引力恒為F，離開地面起飛時的速度為v，重力加速度為g。求：

（1）飛機模型的起飛距離（離開地面前的運動距離）
（2）若飛機起飛利用電磁彈射技術，將大大縮短起飛距離。圖甲為電磁彈射裝置的原理簡化示意圖，與飛機連接的金屬塊（圖中未畫出）可以沿兩根相互靠近且平行的導軌無摩擦滑動。使用前先給電容為C的大容量電容器充電，彈射飛機時，電容器釋放儲存電能所產生的強大電流從一根導軌流入，經過金屬塊，再從另一根導軌流出；導軌中的強大電流形成的磁場使金屬塊受磁場力而加速，從而推動飛機起飛。
①在圖乙中畫出電源向電容器充電過程中電容器兩極板間電壓u與極板上所帶電荷量q的圖象，在此基礎上求電容器充電電壓為U₀時儲存的電能；
②當電容器充電電壓為U_m時彈射上述飛機模型，在電磁彈射裝置與飛機發動機同時工作的情況下，可使起飛距離縮短為x。若金屬塊推動飛機所做的功與電容器釋放電能的比值為η，飛機發動的牽引力F及受到的平均阻力不變。求完成此次彈射后電容器剩余的電能。

Answer 1

（1）（2）①圖線見解析；；②-(mv²+2kmgx-2Fx)

試題分析：（1）平均阻力為f=kmg，依據牛頓第二定律和運動學規律有F-f="ma" ；a=
設飛機的起飛距離為s，依據運動學公式：v²＝2as        

解得s=    
（2）①見答圖   
依據圖象可得電容器儲存電能的規律： E =  
由于q=CU       
則電容器充電電壓為U₀時，電容器儲存電能E₀ == 
②電容器電壓為U_m時，電容器儲存電能 E_m = 
設電容器釋放的電能為E'，由動能定理有：  ηE'+Fx-kmgx=mv²-0    
解得E'=(mv²+2kmgx-2Fx)
電容器剩余的電能E_剩=E_m- E'  解得E_剩=-(mv²+2kmgx-2Fx)