Question

（2010?武漢二模）如圖所示，在空間有一坐標系xoy，直線OP與x軸正方向的夾角為30°，第一象限內有兩個方向都垂直紙面向外的勻強磁場區域I和II，直線OP是他們的邊界，OP上方區域I中磁場的磁感應強度為B．一質量為m，電荷量為q的質子（不計重力）以速度v從O點沿與OP成30°角的方向垂直磁場進入區域I，質子先后通過磁場區域I和II后，恰好垂直打在x軸上的Q點（圖中未畫出），試求：
（1）區域II中磁場的磁感應強度大小；
（2）Q點的坐標．

Answer 1

分析：（1）質子在兩個磁場中由洛倫茲力提供向心力，均做勻速圓周運動．根據圓的對稱性可知，質子從A點出磁場I時的速度方向與OP的夾角為30⁰，即與x軸平行．在區域II中，由題分析可知，質子運動

1

4

圓周，由幾何知識作出軌跡，如圖．由幾何關系，得到質子在兩個磁場中軌跡半徑與OA的關系，由牛頓第二定律研究兩個磁感應強度的關系，求解區域II中磁場的磁感應強度大小．
（2）由圖x=OAcos30°+r₂=r₁cos30°+r₂求解x．

解答：解：（1）設質子在磁場I和II中做圓周運動的軌道半徑分別為r₁和r₂，區域II中磁感應強度為B′，
       由牛頓第二定律qvB=m

v2

r1

①
                     qvB/=m

v2

r2

②
      粒子在兩區域運動的軌跡如圖所示，由幾何關系可知，質子從A點出磁場I時的速度方向與OP的夾角為30⁰，故質子在磁場I中軌跡的圓心角為  θ=60°
則△O₁OA為等邊三角形  OA=r₁ ③r₂=OAsin30°④
由①②③④解得區域II中磁感應強度為  B′=2B
    （2）Q點坐標  x=OAcos30°+r₂=r₁cos30°+r₂
故  x=(

3 +1

2

)

mv

qB

答：（1）區域II中磁場的磁感應強度大小為2B；
    （2）Q點的坐標x=(

3 +1

2

)

mv

qB

．

點評：帶電粒子通過磁場的邊界時，如果邊界是直線，根據圓的對稱性得到，帶電粒子入射速度方向與邊界的夾角等于出射速度方向與邊界的夾角，這在處理有界磁場的問題常常用到．