Question

4．據報道，我國將于2016年擇機發射“天宮二號”，并計劃于2020年發射“火星探測器”．設“天宮二號”繞地球做圓周運動的半徑為r₁、周期為T₁；“火星探測器”繞火星做做圓周運動的半徑為r₂、周期為T₂，萬有引力常量為G．下列說法正確的是（　　）

• A． $\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{{T}_{1}}^{2}}$=$\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{T}_{2}}^{2}}$
• B． “天宮二號”和“火星探測器”的向心加速度大小之比為$\frac{{r}_{1}{{T}_{2}}^{2}}{{r}_{2}{{T}_{1}}^{2}}$
• C． 地球與火星的質量之比為$\frac{{{r}_{1}}^{3}{{T}_{2}}^{2}}{{{r}_{2}}^{3}{{T}_{1}}^{2}}$
• D． 地球與火星的平均密度之比為$\frac{{{T}_{1}}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}}$

Answer 1

分析 開普勒第三定律使用時要注意是對同一個中心體；由萬有引力定律分析二者的向心加速度的關系和質量之間的關系．

解答 解：A、“天宮二號”繞地球做圓周運動而“火星探測器”繞火星做做圓周運動，二者環繞的中心體不同，所以$\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{{T}_{1}}^{2}}$≠$\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{T}_{2}}^{2}}$．故A錯誤；
B、由萬有引力提供向心力得：ma=$\frac{m•4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
所以：$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{{r}_{1}{{T}_{2}}^{2}}{{r}_{2}{{T}_{1}}^{2}}$．故B正確；
C、由萬有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=\frac{m•4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
得：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
所以：$\frac{{M}_{1}}{{M}_{2}}$=$\frac{{{r}_{1}}^{3}{{T}_{2}}^{2}}{{{r}_{2}}^{3}{{T}_{1}}^{2}}$．故C正確；
D、由于它們僅僅給出了飛行器的環繞半徑，而沒有給出地球的半徑與火星的半徑，所以不能得出它們的密度的表達式，則不能比較密度，故D錯誤．
故選：BC

點評 該題考查萬有引力定律的應用與開普勒第三定律，解答的根據是理解開普勒第三定律在應用的過程中要針對同一個中心體．