Question

【題目】如圖所示,AOB是游樂場中的滑道模型,它位于豎直平面內,由兩個半徑都是R的1/4圓周連接而成,它們的圓心O1、O2與兩圓弧的連接點O在同一豎直線上．O2B沿水池的水面,O2和B兩點位于同一水平面上．一個質量為m的小滑塊可由弧AO的任意位置從靜止開始滑下,不計一切摩擦．

（1）假設小滑塊由A點靜止下滑,求小滑塊滑到O點時對O點的壓力;

（2）凡能在O點脫離滑道的小滑塊,其落水點到O2的距離在什么范圍內;

（3）若小滑塊從開始下滑到脫離滑道過程中,在兩個圓弧上滑過的弧長相等,則小滑塊開始下滑時應在圓弧AO上的何處（用該處到O1點的連線與豎直線的夾角的三角函數值表示）．

Answer 1

【答案】（1）3mg,方向豎直向下；（2）R≤x≤2R；（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）mgR=mv2；FN-mg=mv2/R；聯立得:FN=3mg

由牛頓第三定律得:壓力大小為3mg,方向豎直向下．

（2）從A點下滑的滑塊到O點的速度為,即最大速度v2=,設能脫離軌道的最小速度為v1

則有:mg=,

得:v1=

由R=gt2；x=vt；

解得xmin=R；xmax=2R

所以所求距離:R≤x≤2R

（3）如圖所示,設滑塊出發點為P1,離開點為P2,按題意要求O1P1、O2P2與豎直方向的夾角相等,設其為θ,若離開滑道時的速度為v,則滑塊在P2處脫離滑道的條件是

由機械能守恒2mgR（1-cosθ）=mv2

聯立解得cosθ=