Question

18．長為2l的輕繩，兩端各系有一質量為m的小球，中點系有兩只質量為M的小球，三球成一直線靜止于光滑水平桌面上，繩處于伸直狀態，如圖所示，現對小球M施以沖力，使其獲得與繩垂直的初速度v，求：
（1）兩小球m相碰時繩中的張力T；
（2）若從小球M開始運動到兩小球相碰時的時間為t，求在此期間小球M經過的距離x．

Answer 1

分析 （1）三小球在沿M運動的方向上動量守恒，由動量守理可求得三小球相碰時的沿v方向上的速度；再由機械能守恒定律可求得兩小球垂直v方向的速度；再由向心力公式可求得繩中的張力．
（2）對系統分析可知，系統不受外力做勻速直線運動，根據速度公式可求得系統的位移，再根據動量守恒規律可求得質心與小球M之間的距離，從而求出M的距離．

解答 解：（1）設兩個小球碰撞前M的速度為v，由于繩長保持不變，因此小球m沿繩方向的速度也為v_X，而垂直于繩方向的速度分量設為v_y，設初速度方向為正方向，則由動量守恒定律和機械能守恒定律可得：
Mv=（M+2m）v_y
$\frac{1}{2}$Mv²=$\frac{1}{2}M{v}_{y}^{2}$+2×$\frac{1}{2}$m（v_x²+v_y²）
解得：v_x²=$\frac{Mv}{M+2m}$
設此時M相對于桌面的加速度為a_M，則有：2T=Ma_M，a_M方向與v_y反向，在小球M的參考系中，小球m以速度vx繞M做圓周運動，由球小球除受繩子張力外，還受到與T同向的慣性力ma_M的作用，故由牛頓第二定律有：
T+ma_M=m$\frac{{v}_{X}^{2}}{L}$
由此解得：
T=$\frac{m{M}^{2}v}{L（M+2m）^{2}}$
（2）由于系統沿水平方向不受外力，故其質心作勻速直線運動，質心速度為：
v=$\frac{Mv}{M+2m}$
在時間t內，質心經過的距離為：
s_o=v_ot=$\frac{Mv}{M+2m}$t
設兩小球m相碰時，質心與小球M的距離為y_o=$\frac{2mL}{M+2m}$
由此可知在時間t內小球M經過的距離為x=s_o+y₀=$\frac{Mv}{M+2m}$t+$\frac{2mL}{M+2m}$=$\frac{M{v}_{0}t+2mL}{M+2m}$
答：（1）兩小球m相碰時繩中的張力T為$\frac{m{M}^{2}v}{L（M+2m）^{2}}$
（2）若從小球M開始運動到兩小球相碰時的時間為t，求在此期間小球M經過的距離x為$\frac{M{v}_{0}t+2mL}{M+2m}$．

點評 本題為動量守恒及機械能守恒定律的綜合應用問題，要注意明確在沿初度方向上總動量守恒；同時明確在垂直于初速度方向上的機械能的存在．