Question

1．如圖所示，在豎直平面內固定一個細圓管彎成的圓形軌道，圓管內壁光滑，半徑為R=0.1m．一質量m=0.1kg的小球從軌道的最低點A，以初速度v₀向右運動，球的尺寸略小于圓管直徑．取g=10m/s²，小球運動對軌道形狀無影響，則下列說法中錯誤的是（　　）

• A． 要使小球做完整的圓周運動，初速度v₀至少為2m/s
• B． 要使小球始終緊貼圓管外側做完整的圓周運動，初速度v₀至少為$\sqrt{5}$m/s
• C． 若圓形軌道的上半圓內壁粗糙、下半圓內壁光滑且v₀=3m/s，經過足夠長的時間后，小球在A點的速度為$\sqrt{3}$m/s
• D． 若圓形軌道的上半圓內壁粗糙、下半圓內壁光滑且v₀=3m/s，經過足夠長的時間后，小球減少的機械能為0.35J

Answer 1

分析 要使小球做完整的圓周運動，在C點的最小速度為0，由機械能守恒求初速度的最小值．要使球緊貼外圓做圓周運動，在最高點的臨界情況是重力提供向心力，根據牛頓第二定律求最高點C的臨界速度，結合機械能守恒定律求出初速度的最小值．若圓形軌道的上半圓內壁粗糙、下半圓內壁光滑且v₀=3m/s，最終小球在BD之間運動，由機械能守恒求A點的速度，得到減少的機械能．

解答 解：A、要使小球做完整的圓周運動，在C點的最小速度為0，由機械能守恒得：2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
得：v₀=2$\sqrt{gR}$=2×$\sqrt{10×0.1}$=2m/s，故A正確．
B、要使小球始終緊貼圓管外側做完整的圓周運動，小球恰好通過最高點時，有mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$．從A到C，由機械能守恒得：2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
得：v₀=$\sqrt{5gR}$=$\sqrt{5×10×0.1}$=$\sqrt{5}$m/s，故B正確．
C、若圓形軌道的上半圓內壁粗糙、下半圓內壁光滑且v₀=3m/s，最終小球在BD之間運動，由機械能守恒得：mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$，
得：v_A=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2}$m/s，故C錯誤．
D、由C項知，經過足夠長的時間后，減少的機械能為：△E=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$=$\frac{1}{2}$×0.1×（3²-2）=0.35J，故D正確．
本題選錯誤的，故選：C

點評 本題是向心力和機械能守恒定律的綜合應用，關鍵是理清運動過程，抓住臨界狀態，運用合適的規律進行求解．