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如圖有三根針和套在一根針上的n（n∈N^*）個金屬片．按下列規則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上． 
1．每次只能移動1個金屬片；                      
2．較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面．
現用a_n表示把n個金屬片從中間的針移到右邊的針上所至少需要移動的次數，請回答下列問題：
（1）寫出a₁，a₂，a₃，并求出a_n；
（2）記b_n=a_n+1，求和Sn=

1≤i≤j≤n

bibj（i，j∈N^*）；（其中

1≤i≤j≤n

bibj表示所有的積b_ib_j（1≤i≤j≤n）的和．例：

1≤i≤j≤2

b_ib_j=

b

2 1

+b₁b₂+

b

2 2

=

1

2

[（b₁+b₂）²+（

b

2 1

+

b

2 2

）]
（3）證明：

1

7

≤

S1

S2

+

S1S3

S2S4

+…+

S1S3…S2n-1

S2S4…S2n

＜

4

21

（n∈N^*）

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已知函數f（x）=（x+1）ⁿ（n∈N^*），l是f（x）在點（1，f（1））處的切線，l與x軸的交點坐標為（x_n，0），
（1）若數列{a_n}滿足a_n=（1-x_n）（1-x_n+1），求數列{a_n}的前n項和S_n；
（2）設b_k表示（x+1）ⁿ的二項展開式的第k+1項的二項式系數，求和

n

k=1

kbk．

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