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19．已知函數$f（x）=x+\frac{a}{x}-2lnx$．
（1）當a=0時，求f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）是否存在實數a，當0＜x≤2時，函數f（x）圖象上的點都在$\left\{\begin{array}{l}0＜x≤2\\ x-y≥0\end{array}\right.$所表示的平面區域（含邊界）？若存在，求出a的值組成的集合；否則說明理由；
（3）若f（x）有兩個不同的極值點m，n（m＞n），求過兩點M（m，f（m）），N（n，f（n））的直線的斜率的取值范圍．

18．已知在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B⊥平面ABC，∠ABC=90°，B₁B=AB=2BC=4，D、E分別是B₁C₁，A₁A的中點．
（1）求證：A₁D∥平面B₁CE；
（2）設M是的中點，N在棱AB上，且BN=1，P是棱AC上的動點，直線NP與平面MNC所成角為θ，試問：θ的正弦值存在最大值嗎？若存在，請求出$\frac{AP}{AC}$的值；若不存在，請說明理由．

17．若直線l過拋物線x²=-8y的焦點F，且與雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{3}=1$在一、三象限的漸近線平行，則直線l截圓${（{x-4\sqrt{3}}）^2}+{y^2}=4$所得的弦長為2．

16．設函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\int_1^e{\frac{1}{t}dt，x＞\sqrt{2}}\\ \frac{1}{3}，x≤\sqrt{2}\end{array}\right.$，若$f（{x_0}）＞\frac{1}{2}$，則x₀的取值范圍為x₀＞$\sqrt{2}$．

15．已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F（1，0）的距離減去它到y軸距離的差都是1．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點M（m，0）（m＞0）任作一條直線與曲線C交于A，B兩點，點N（n，0），連接AN，BN，且m+n=0．求證：∠ANM=∠BNM．

14．在平面直角坐標系xOy中，曲線x²+y²=2|x|+2|y|圍成的圖形的面積為6π+8．

13．已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線x²=2y的焦點為F，M（3，5），點Q在拋物線上，則|MQ|+|QF|的最小值為$\frac{11}{2}$．

12．已知雙曲線x²-my²=1的虛軸長是實軸長的兩倍，則實數m的值是$\frac{1}{4}$．

11．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的上頂點M與左、右焦點F₁，F₂構成三角形MF₁F₂面積為$\sqrt{3}$，又橢圓C的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，左右頂點分別為P，Q．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點D（m，0）（m∈（-2，2），m≠0）作兩條射線分別交橢圓C于A，B兩點（A，B在長軸PQ同側），直線AB交長軸于點S（n，0），且有∠ADP=∠BDQ．求證：mn為定值；
（3）橢圓C的下頂點為N，過點T（t，2）（t≠0）的直線TM，TN分別與橢圓C交于E，F兩點．若△TMN的面積是△TEF的面積的λ倍，求λ的最大值．

10．已知⊙C：x²+y²-2x-4y-20=0，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．
（1）求證：直線l與⊙C恒有兩個交點；
（2）若直線l與⊙C的兩個不同交點分別為A，B．求線段AB中點P的軌跡方程，并求弦AB的最小值．