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已知函數．
（Ⅰ）設函數的圖像的頂點的縱坐標構成數列，求證：為等差數列；
（Ⅱ）設函數的圖像的頂點到軸的距離構成數列，求的前項和．

各項均為正數的數列{}中，a₁＝1，是數列{}的前n項和，對任意n∈N﹡，有2＝2p＋p－p（p∈R）．
（1）求常數p的值；
（2）求數列{}的前n項和．

已知各項均為正數的數列{}滿足－－2＝0，n∈N﹡，且是a₂，a₄的等差中項．
（1）求數列{}的通項公式；
（2）若＝，＝b₁＋b₂＋…＋，求的值．

設數列的前項和滿足,其中.
⑴若,求及;
⑵若,求證:,并給出等號成立的充要條件.

設數列的前項和滿足,其中.
⑴若,求及;
⑵若,求證:,并給出等號成立的充要條件.

已知數列中，，設．
（Ⅰ）試寫出數列的前三項；
（Ⅱ）求證：數列是等比數列，并求數列的通項公式；
（Ⅲ）設的前項和為，
求證：．

數列的前項和為，若，點在直線上．
⑴求證：數列是等差數列；
⑵若數列滿足，求數列的前項和；
⑶設，求證：．

2013年我國汽車擁有量已超過2億（目前只有中國和美國超過2億），為了控制汽車尾氣對環境的污染，國家鼓勵和補貼購買小排量汽車的消費者，同時在部分地區采取對新車限量上號.某市采取對新車限量上號政策，已知2013年年初汽車擁有量為（=100萬輛），第年（2013年為第1年，2014年為第2年，依次類推）年初的擁有量記為，該年的增長量和與的乘積成正比，比例系數為其中=200萬.
（1）證明：；
（2）用表示；并說明該市汽車總擁有量是否能控制在200萬輛內.

設公比大于零的等比數列的前項和為，且，，數列的前項和為，滿足，，．
（Ⅰ）求數列、的通項公式；
（Ⅱ）滿足對所有的均成立，求實數的取值范圍．

已知數列{a_n}滿足，，.
（1）求證：數列為等比數列；
（2）是否存在互不相等的正整數、、，使、、成等差數列，且、、 成等比數列？如果存在，求出所有符合條件的、、；如果不存在，請說明理由.