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兩千多年前，古希臘畢達哥拉斯學派的數學家曾經在沙灘上研究數學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數，按照點或小石子能排列的形狀對數進行分類，如圖2中的實心點個數1，5，12，22，…，被稱為五角形數，其中第1個五角形數記作，第2個五角形數記作，第3個五角形數記作，第4個五角形數記作，…，若按此規律繼續下去，得數列，則；對，．

在一次珠寶展覽會上，某商家展出一套珠寶首飾，第一件首飾是1顆珠寶， 第二件首飾是由6顆珠寶(圖中圓圈表示珠寶)構成如圖1所示的正六邊形， 第三件首飾如圖2， 第四件首飾如圖3， 第五件首飾如圖4， 以后每件首飾都在前一件上，按照這種規律增加一定數量的珠寶，使它構成更大的正六變形，依此推斷第件首飾所用珠寶數為    顆. 

觀察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此規律，第個等式為         。

已知數列{a_n}中，a_1=,[ a_n]表示a_n的整數部分，(a_n)表示a_n的小數部分，a_n+1="[" a_n]+（），數列{b­­_n}中，b₁=1,b₂=2,（）,則a₁b₁+ a₂b₂₊…+a_nb_n=     

《萊因德紙草書》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的數學著作之一。書中有一道這樣的題目：把100個面包分給五人，使每人成等差數列，且使最大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小1份的大小是       

有限數列，為其前n項和，定義的“凱森和”，若有99項的數列的“凱森和”為1000，則有100項的數列的“凱森和”為         .

設數列 若         

數列1,1,2,3,5,8,13，x,34,55，…中x的值為________

一種計算裝置，有一個數據入口和一個運算出口，執行某種運算程序．
（1）當從口輸入自然數時，從口得到實數，記為；
（2）當從口輸入自然數時，在口得到的結果是前一結果倍．
當從口輸入時，從口得到           ；要想從口得到，則應從口輸入自然數         .

根據下面一組等式：

可得_______________。