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已知函數，且在處的切線方程為.
（1）求的解析式；
（2）證明：當時，恒有；
（3）證明：若，，且，則.

已知函數．
（Ⅰ）當時，函數取得極大值，求實數的值；
（Ⅱ）已知結論：若函數在區間內存在導數，則存在
，使得. 試用這個結論證明：若函數
（其中），則對任意，都有；
（Ⅲ）已知正數滿足，求證：對任意的實數，若時，都
有.

已知函數，
（Ⅰ）若，求函數的極值；
（Ⅱ）設函數，求函數的單調區間；
（Ⅲ）若在區間（）上存在一點，使得成立，求的取值范圍.

已知的導函數，且，設，
且．
（Ⅰ）討論在區間上的單調性；
（Ⅱ）求證：；
（Ⅲ）求證：．

已知函數.
(I)若在處取得極值，
①求、的值；②存在，使得不等式成立，求的最小值；
(II)當時，若在上是單調函數，求的取值范圍.（參考數據）

已知函數的導函數是，在處取得極值，且.
（Ⅰ）求的極大值和極小值；
（Ⅱ）記在閉區間上的最大值為，若對任意的總有成立，求的取值范圍；
（Ⅲ）設是曲線上的任意一點．當時，求直線OM斜率的最小值，據此判斷與的大小關系，并說明理由．

已知函數，其中．
（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）求在區間上的最大值和最小值．

已知函數，
(Ⅰ)當a=1時，若曲線y=f(x)在點M (x₀,f(x₀))處的切線與曲線y=g(x)在點P (x₀, g(x₀））處的切線平行，求實數x₀的值；
(II)若(0,e]，都有f(x)≥g(x)+，求實數a的取值范圍.

已知函數,點為一定點,直線分別與函數的圖象和軸交于點,,記的面積為.
（I）當時,求函數的單調區間；
（II）當時, 若,使得, 求實數的取值范圍.

已知函數，，（1）若，求函數的極值；
（2）若函數在上單調遞減，求實數的取值范圍；
（3）在函數的圖象上是否存在不同的兩點，使線段的中點的橫坐標與直線的斜率之間滿足？若存在，求出；若不存在，請說明理由.