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如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA₁＝4，點D是AB的中點．

(Ⅰ)求證：AC⊥BC₁；

(Ⅱ)求證：AC₁∥平面CDB₁．

如圖，在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，求證：

(1)AC₁⊥BD；

(2)平面AC₁D⊥平面A₁BD．

數列{a_n}的前n項和記為S_n，已知a₁＝1，a_n+1＝S_n(n＝1，2，3，…)．

證明：(1)．數列{}是等比數列；

(2)．S_n+1＝4a_n．

如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，點F為PC的中點．

(Ⅰ)求證：PA∥平面BDF；

(Ⅱ)求證：BD⊥平面PAC．

證明(1)已知＝1，求證3sin2α＝－4cos2α

(2)已知數列，，，…，，…，計算S₁，S₂，S₃，由此推算S_n的公式，并用數學歸納法給出證明．

選修4－5：不等式選講

(Ⅰ)已知x，y都是正實數，求證：x³＋y³≥x²y＋xy²；

(Ⅱ)已知a，b，c都是正實數，求證：a³＋b³＋c³≥(a²＋b²＋c²)(a＋b＋c)．

設n為大于1的自然數，求證：＋＋＋…＋＞．

如圖，AB是⊙O的直徑，弦BD、CA的延長線相交于點E，EF垂直BA的延長線于點F．求證：

(1)∠AED＝∠AFD；

(2)AB²＝BE·BD－AE·AC．

如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是菱形，PB＝PD，且E，F分別是BC，CD的中點．求證：

(1)EF∥平面PBD；

(2)平面PEF⊥平面PAC．

如圖，在長方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，點E在棱CC₁的延長線上，且CC₁＝C₁E＝BC＝AB＝1．

(Ⅰ)求證：D₁E∥平面ACB₁；

(Ⅱ)求證：平面D₁B₁E⊥平面DCB₁；