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已知橢圓C的中心在圓點，焦點在x軸上，F₁，F₂分別是橢圓C的左、右焦點，M是橢圓短軸的一個端點，過F₁的直線l與橢圓交于A，B兩點，△MF₁F₂的面積為4，△ABF₂的周長為

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)設點Q的坐標為(1，0)，是否存在橢圓上的點P及以Q為圓心的一個圓，使得該圓與直線PF₁，PF₂都相切，若存在，求出P點坐標及圓的方程；若不存在，請說明理由．

如圖所示，已知△AOB中，AB＝2OB＝4，D為AB的中點，若△AOC是△AOB繞直線AO旋轉而成的，記二面角B－AO－C的大小為．

(Ⅰ)若，求證：平面COD⊥平面AOB；

(Ⅱ)若時，求二面角C－OD－B的余弦值的最小值．

2010年廣東亞運會，某運動項目設置了難度不同的甲、乙兩個系列，每個系列都有K和D兩個動作，比賽時每位運動員自選一個系列完成，兩個動作得分之和為該運動員的成績．假設每個運動員完成每個系列中的兩個動作的得分是相互獨立的，根據賽前訓練統計數據，某運動員完成甲系列和乙系列的情況如下表：

甲系列：

乙系列：

現該運動員最后一個出場，其之前運動員的最高得分為118分．

(Ⅰ)若該運動員希望獲得該項目的第一名，應選擇哪個系列，說明理由，并求其獲得第一名的

概率；

(Ⅱ)若該運動員選擇乙系列，求其成績X的分布列及其數學期望EX．

已知函數f(x)＝xlnx．

(Ⅰ)求函數上的最小值；

(Ⅱ)求證：對一切x∈(0，＋∞)，都有

已知函數

(Ⅰ)求函數f(x)的最小正周期和值域；

(Ⅱ)記△ABC的內角A、B、C的對邊分別是a，b，c，若求角C的值．

在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA₁＝1，D、E分別為棱AB、BC的中點，M為棱AA₁上的點．

(1)證明：A₁B₁⊥C₁D；

(2)當的大小．

已知函數f(x)＝lnx，g(x)＝x²－2x．

(1)設h(x)＝f(x＋1)－(x)(其中(x)是g(x)的導函數)，求h(x)的最大值；

(2)證明：當0＜b＜a時，求證：f(a＋b)－f(2a)＜；

(3)設k∈Z，當x＞1時，不等式k(x－1)＜xf(x)＋3(x)＋4恒成立，求k的最大值．

已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為．

(1)求橢圓C的方程；

(2)設直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值．

設數列{a_n}的前n項和為S_n，點(S_n，a_n)在直線(3－m)x＋2my―m―3＝0上，(m為常數，m∈N^*，m≠3)．

(1)求a_n；

(2)若數列{a_n}的公比q＝f(m)，數列{b_n}滿足b₁＝a₁，，，求證：為等差數列，并求b_n；

(3)設數列{c_n}滿足c_n＝b_n·b_n+2，T_n為數列{c_n}的前n項和，且存在實數T滿足，求T的最大值．

將10個白小球中的3個染成紅色，3個染成黃色，試解決下列問題：

(1)求取出3個小球中紅球個數ξ的分布列和數學期望；

(2)求取出3個小球中紅球個數多于白球個數的概率．