Question

設橢圓C：的左焦點為F，過點F的直線與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60°，．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）如果|AB|=，求橢圓C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）點斜式設出直線l的方程，代入橢圓，得到A、B的縱坐標，再由，求出離心率．
（2）利用弦長公式和離心率的值，求出橢圓的長半軸、短半軸的值，從而寫出標準方程．
解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意知y₁＞0，y₂＜0．
（1）直線l的方程為，其中．
聯立 得 ．
解得，．
因為，所以-y₁=2y₂．即-=2 ，
解得離心率．（6分）
（2）因為，∴•．
由 得，所以，解得a=3，．
故橢圓C的方程為．（12分）

點評：本題考查橢圓的性質標和準方程，以及直線和圓錐曲線的位置關系，準確進行式子的變形和求值，是解題的難點．