Question

已知函數f(x)=

a

x

+lnx-b在x=2處取得極值ln2．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的單調區間；
（3）若對任意x∈（0，+∞），都有f（x）-k≥0，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對f（x）進行求導，注意函數的定義域，根據在x=2處取得極值ln2，f′（2）=0，且f（2）=ln2，求出a和b；
（2）由（1）知道f（x）的解析式，對f（x）進行求導，利用導數研究函數的單調性；
（3）對任意x∈（0，+∞），都有f（x）-k≥0，即k≤f（x）_min恒成立即可，轉化為求f（x）的最小值問題；

解答：解：（1）∵函數f(x)=

a

x

+lnx-b在x=2處取得極值ln2．（x＞0）
∴f′（x）=

-a

x2

+

1

x

，可得f′（2）=0，所以2-a=0，解得a=2，
因為f（2）=ln2，可得1+ln2-b=ln2，解得b=1；
（2）f′（x）=

x-2

x2

（x＞0），
若f′（x）＞0，解得x＞2；
若f′（x）＜0，解得x＜2；
所以f（x）的單調增區間：（2，+∞）；
f（x）的單調減區間：（0，2）；
（3）對任意x∈（0，+∞），都有f（x）-k≥0，
∴k≤f（x），只要f（x）的最小值大于l即可，
因為f（x）的單調增區間：（2，+∞）；
f（x）的單調減區間：（0，2）；
f（x）在x=2處取得極小值，也是最小值，f（x）_min=f（2）=ln2，
∴k≤ln2；

點評：此題主要考查利用導數研究函數的單調性及其應用，是一道基礎題，第三問用到了轉化的思想，這也是高考常考的考點；