Question

設F₁、F₂分別是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，以F₁F₂為直徑的圓與雙曲線C在第一象限的交點為P，若雙曲線的離心率為5，則cos∠PF₁F₂=（　　）

• A、

  3

  4

• B、

  3

  5

• C、

  4

  5

• D、

  5

  6

Answer 1

分析：設|PF₁|=m，|PF₂|=n，由雙曲線的定義知m-n=2a，由△PF₁F₂為直角三角形，知m²+n²=4c²，由雙曲線的離心率為5，c=5a，由此能求出結果．

解答：解：設|PF₁|=m，|PF₂|=n，
則由雙曲線的定義知m-n=2a，①
∵△PF₁F₂為直角三角形，
∴m²+n²=4c²，②
∵雙曲線的離心率為5，
∴

c

a

=5，即c=5a，
把①和②聯立方程組

m-n=2a m2+n2=4c2

，
解得mn=2b²=2（c²-a²）=48a²，
解方程組

m-n=2a mn=48a2

，得m=8a，n=6a，
∴cos∠PF₁F₂=

|PF2|

|F1F2|

=

m

2c

=

8a

2×5a

=

4

5

．
故選C．

點評：本題考查雙曲線的簡單性質的應用，解題時要認真審題，注意雙曲線定義的靈活運用．