Question

對任意A中任取兩個元素x，y，定義運算x*y=ax+by+cxy，其中a，b，c是常數，等式右邊的運算是通常的加法和乘法運算．已知1*2=3，2*3=4，并且集合A中存在一個非零常數m，使得對任意x，都有x*m=x，則稱m是集合A的“釘子”．集合A={x|0≤x≤4}的“釘子”為

4

．

Answer 1

分析：由新定義的運算x*y=ax+by+cxy，及1*2=3，2*3=4，構造方程組，不難得到參數a，b，c之間的關系．又由有一個非零實數m，使得對于任意實數x，都有x*m=x，可以得到一個關于m的方程，解方程即可求出滿足條件的m的值．

解答：解：∵x*y=ax+by+cxy，
由1*2=3，2*3=4，
得

a+2b+2c=3 2a+3b+6c=4

∴b=2+2c，a=-1-6c．
又由x*m=ax+bm+cmx=x對于任意實數x恒成立，
∴

a+cm=1 bm=o

∵m為非零實數，∴b=0=2+2c
∴c=-1．
∴（-1-6c）+cm=1．
∴-1+6-m=1．
∴m=4．
m的值為4．
故答案是4．

點評：這是一道新運算類的題目，其特點一般是“新”而不“難”，處理的方法一般為：根據新運算的定義，將已知中的數據代入進行運算，易得最終結果．