Question

有一個受到污染的湖泊，其湖水的容積為v立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米．現假設下雨量和蒸發量正好平衡，且污染物質與湖水能很好地混合．用g(t)表示在t時刻每立方米湖水所含污染物質的克數，我們稱之為在t時刻的湖水污染質量分數．已知目前污染源以每天p克的污染物質污染湖水，湖水污染質量分數滿足關系式g(t)＝＋[g(0)－]·e(p≥0)，其中g(0)是湖水污染的初始質量分數．

(1)當湖水污染質量分數為常數時，求湖水污染的初始質量分數；

(2)求證：當g(0)＜時，該湖泊的污染程度會越來越嚴重；

(3)如果政府加大治污力度，使得該湖泊的所有污染源停止排放污染物，那么需要經過多少天才能使湖泊的污染程度下降到初始污染程度的5％？

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)解：由g(t)為常數，得g(0)－＝0，所以g(0)＝．

　　(2)證明：設0＜t₁＜t₂，則g(t₁)－g(t₂)

　　＝＋·e－－·e

　　＝·

　　＝·．

　　因為t₁＜t₂，所以e＜e，

　　所以e－e＞0．

　　又g(0)－＜0，所以g(t₁)＜g(t₂)．

　　故湖水污染質量分數隨時間的增加而增加，說明湖泊的污染程度會越來越嚴重．

　　(3)解：污染停止，即p＝0，則g(t)＝g(0)·e．

　　設經過t天能使湖泊污染程度下降到初始污染程度的5％，即g(t)＝5％·g(0)，

　　所以＝e，解得t＝ln20．

　　故需要經過ln20天才能使湖泊的污染程度下降到初始污染程度的5％．