Question

已知橢圓C的焦點是F1(-

3

，0)、F2(

3

，0)，點F₁到相應的準線的距離為

3

3

，過點F₂且傾斜角為銳角的直線?與橢圓C交于A、B兩點，使|F₂B|=3F₂A|．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求直線?的方程．

Answer 1

分析：（1）設出橢圓的方程，利用已知條件直接求出橢圓C的方程；
（2）通過焦半徑，以及|F₂B|=3|F₂A|．求出B的坐標，然后求直線?的方程．

解答：解：（1）設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，
則由已知得：c=

3

， 

b2

c

=

3

3

∴b²=1，a²=b²+c²=4
∴

x2

4

+y2=1為所求．
（2）由橢圓方程知：e=

3

2

，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則|AF2|=a-ex1=2-

3

2

x1，
|BF2|=a-ex2=2-

3

2

x2，
由3|AF₂|=|BF₂|
得3(2-

3

2

x1)=2-

3

2

x2，
∴3x1-x2=

8

3

3

    ①
又F₂分

.

BA

所成的比λ=3
∴

3

=

x2+3x1

1+3

，即3x1+x2=4

3

   ②
由①，②得：x1=

10

9

3

，x2=

2

3

3

，
∴B(

2 3

3

，-

6

3

)
∴?：y=

6 3

3 - 2 3 3

(x-

3

)
即

2

x-y-

6

=0．

點評：本題考查橢圓方程的求法，焦半徑公式的應用，定比分點的應用，考查計算能力，轉化思想．