Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=0，a_n+1=

1+an

3-an

（n∈N⁺）
（Ⅰ）計算a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結果猜想{a_n}的通項公式，并用數學歸納法證明你的結論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）a₁=0，a_n+1=

1+an

3-an

，通過n=1，2，3，直接計算a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結果猜想{a_n}的通項公式，再用數學歸納法證明，關鍵是假設當n=k（k≥1）時，命題成立，利用遞推式，證明當n=k+1時，等式成立．

解答：解：（Ⅰ） 由a₁=0，a_n+1=

1+an

3-an

，
當n=1時，a₂=

1

3

，
當n=2時，a₃=

1+ 1 3

3- 1 3

=

1

2

，
當n=3時，a₃=

1+ 1 2

3- 1 2

=

3

5

，
（Ⅱ）由以上結果猜測：an=

n-1

n+1

（6分）
用數學歸納法證明如下：
（1）當n=1時，左邊=a₁=0，右邊═0，等式成立．（8分）
（2）假設當n=k（k≥1）時，命題成立，即ak=

k-1

k+1

成立．
那么，當n=k+1時，ak+1=

1+ak

3-ak

=

1+ k-1 k+1

3- k-1 k+1

=

k+1+k-1

3k+3-k+1

=

2k

2k+4

=

k

k+2

=

(k+1)-1

(k+1)+1

這就是說，當n=k+1時等式成立．
由（1）和（2），可知猜測an=對于任意正整數n都成立．

點評：本題考查數列的通項，考查歸納猜想，考查數學歸納法的運用，屬于中檔題．