Question

【題目】已知函數（，其中e為自然對數的底數）．

（Ⅰ）若，求函數的單調遞增區間；

（Ⅱ）若函數有兩個不同的零點．

（ⅰ）當時，求實數的取值范圍；

（ⅱ）設的導函數為，求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）；（ii）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）先對函數求導，得到，根據，由，即可求出單調遞增區間；

（Ⅱ）（ⅰ）先由（Ⅰ）得到，分和兩種情況討論，用導數的方法研究函數的單調性，進而可得出結果；

（ⅱ）先由題意得到，從而有，設，，構造函數，根據導數的方法研究函數的單調性，進而可證明結論成立.

（Ⅰ）由題意得，當時，令，得，函數的單調遞增區間為；

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知，，

當時，,函數在R上單調遞增，不合題意，所以.

又時，；，，

函數有兩個零點，函數在遞減，函數在遞增， ，

，得.

（ⅱ）由題意得：

，兩式相減，得，

不妨設，，則

令，,,

在上單調遞減，，即．