【題目】如圖，在四棱錐
中，四邊形
為正方形， 
平面
， 
， 
是
上一點，且
.
（1）求證： 
平面
；
（2）求直線
與平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】試題分析：
（1）連接
，由線面垂直的性質定理可得
，且
，故
平面
， 
，又
，利用線面垂直的判斷定理可得
平面
.
（2）法1：由（1）知
平面
，即
是直線
與平面
所成角，設
，則
， 
， 
，結合幾何關系計算可得
，即直線
與平面
所成角的正弦值為
.
法2：取
為原點，直線
， 
， 
分別為
， 
， 
軸，建立坐標系
，不妨設
，結合(1)的結論可得平面
得法向量
，而
，據此計算可得直線
與平面
所成角的正弦值為
.
試題解析：
（1）連接
，由
平面
， 
平面
得
，
又
， 
，
∴
平面
，得
，
又
， 
，
∴
平面
.
（2）法1：由（1）知
平面
，即
是直線
與平面
所成角，易證
，而
，
不妨設
，則
， 
， 
，
在
中，由射影定理得
，
可得
，所以
，
故直線
與平面
所成角的正弦值為
.
法2：取
為原點，直線
， 
， 
分別為
， 
， 
軸，建立坐標系
，不妨設
，則
， 
， 
，
由（1）知平面
得法向量
，而
，
∴
.
故直線
與平面
所成角的正弦值為
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠修建一個長方體無蓋蓄水池，其容積為4 800立方米，深度為3米．池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元．設池底長方形長為x米．
（1）求底面積，并用含x的表達式表示池壁面積；
（2）怎樣設計水池能使總造價最低?最低造價是多少?
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若數列
滿足：存在正整數
，對任意的
，使得
成立，則稱為階穩增數列.
（1）若由正整數構成的數列
為
階穩增數列，且對任意
，數列中恰有
個
，求
的值；
（2）設等比數列為
階穩增數列且首項大于
，試求該數列公比
的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，令數列
（其中，常數
為正實數），設
為數列
的前
項和.若已知數列
極限存在，試求實數的取值范圍，并求出該極限值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在奧運知識有獎問答競賽中，甲、乙、丙三人同時回答一道有關奧運知識的問題，已知甲答對這道題的概率是
，甲、乙兩人都回答錯誤的概率是
，乙、丙兩人都回答正確的概率是
.設每人回答問題正確與否相互獨立的.
(Ⅰ）求乙答對這道題的概率；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答對這道題的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某數學興趣小組有男女生各5名．以下莖葉圖記錄了該小組同學在一次數學測試中的成績(單位：分)．已知男生數據的中位數為125，女生數據的平均數為126.8.
（1）求
的值；
（2）現從成績高于125分的同學中隨機抽取兩名同學，求抽取的兩名同學恰好為一男一女的概率．
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