Question

已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，G為△ABC的重心，且滿足

AB

•

CG

=

BC

•

AG

．
（1）證明：a²，b²，c²成等差數(shù)列；
（2）求函數(shù)y=2

3

sin2B+sin(2B+

π

3

)的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知得

1

3

(

CB

-

CA

)•(

CB

+

CA

)=

1

3

(

AC

-

AB

)•(

AC

+

AB

)，由此能夠證明a²，b²，c²成等差數(shù)列．
（2）由2b²=a²+c²，得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1 2 (a2+c2)

2ac

≥

1

2

，由此能求出函數(shù)y=2

3

sin2B+sin(2B+

π

3

)的最大值．

解答：解：（1）證明：由已知得

1

3

(

CB

-

CA

)•(

CB

+

CA

)=

1

3

(

AC

-

AB

)•(

AC

+

AB

)--（7分）；
即a²，b²，c²成等差數(shù)列；--（8分）；
（2）、由（1）得2b²=a²+c²，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1 2 (a2+c2)

2ac

≥

1

2

∴0＜B≤

π

3

，--（12分）；
又因?yàn)閥=

3

-

3

cos2B+

1

2

sin2B+

3

2

cos2B=sin(2B-

π

3

)+

3

∴當(dāng)B=

π

3

，y的最大值為

3

2

3

．--（16分）．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．