Question

方程組

x+y+z=0 xyz+z=0 xy+yz+xz+y=0

的有理數解（x，y，z）的個數為（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：首先對z進行分類討論：①若z=0，則

x+y=0 xy+y=0

解得

x=0 y=0

或

x=-1 y=1

；②若z≠0，則由xyz+z=0得xy=-1先求得x、y的值，進一步確定方程組的正整數解組數．

解答：解：若z=0，則

x+y=0 xy+y=0

解得

x=0 y=0

或

x=-1 y=1

若z≠0，則由xyz+z=0得xy=-1．       ①
由x+y+z=0得z=-x-y．             ②
將②代入xy+yz+xz+y=0得x²+y²+xy-y=0．           ③
由①得x=-

1

y

，代入③化簡得（y-1）（y³-y-1）=0．
易知y³-y-1=0無有理數根，故y=1，由①得x=-1，由②得z=0，與z≠0矛盾，
故該方程組共有兩組有理數解

x=0 y=0 z=0

或

x=-1 y=1 z=0

點評：本小題主要考查根的存在性及根的個數判斷等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于基礎題．